Метод наименьших квадратов. Требование равенства аппроксимирующей функции к эмпирическим значениям оправдано лишь в случае высокой достоверности и точности исходных данных

Требование равенства аппроксимирующей функции к эмпирическим значениям оправдано лишь в случае высокой достоверности и точности исходных данных. В таких случаях аппроксимирующая функция должна опираться на усредненные данные и не обязана точно совпадать с ними.

Предполагается, что вид аппроксимирующей функции известен: ,

где - вектор параметров, которые необходимо определить.

Введем следующие обозначения:

- множество заданных узловых точек, - невязка,

– целевая функция, которая минимизируется, n=N-1.

Требуется найти такие значения вектора параметров , которые обеспечивают минимальные величины . Условие минимума целевой функции имеет вид системы уравнений:

Если в качестве функции задан многочлен , то и система уравнений будет иметь вид:

Собирая коэффициент при неизвестных компонентах , можно получить:

Получена система линейных уравнений для неизвестного.

В матричном виде система имеет вид: ,

где и .

Решение системы имеет вид: .

Метод наименьших квадратов позволяет получить решение, если . Метод применяется для обработки серий повторяющихся экспериментов. В теории вероятности доказывается, что полученным методом значения вектора параметров наиболее вероятны, если значения невязок подчиняются нормальному закону распределения.