Теоремы об аппроксимации многочленами

Теорема 1.

Если функция непрерывна на отрезке , то для любого существует многочлен степени , абсолютное отклонение которого от функции на отрезке меньше , то есть .

Теорема устанавливает факт достижимости любой точности с помощью многочлена. Обеспечение высокой степени точности требует соответствующей степени полинома. Если аппроксимируется множество узловых точек с несовпадающими абсциссами и степень полинома равна числу точек, то отклонение равно нулю.

Теорема 2:

Для любой функции f(x), непрерывной на замкнутом ограниченном множестве , и любого натурального числа m существует многочлен g(x) степени не выше m, абсолютное отклонение которого от функции минимально, причем такой многочлен единственный.

Теорема о существовании и единственности оптимального по точности аппроксимирующего многочлена позволяет обоснованно использовать многочлены для решения задач аппроксимации.