Аппроксимация в задачах моделирования

Аппроксимация – это замена одних математических объектов другими, которые в определённом смысле близки к исходным и более просты и удобны. Исходными данными для аппроксимации в задачах моделирования могут являться эмпирические данные или результаты предварительного моделирования отдельных наиболее сложных элементов модели. Кроме того, часто практикуется замена точных сложных моделей на приближенные, но значительно более простые соотношения с целью сокращения времени моделирования.

Наиболее часто исходными данными для аппроксимации является множество табличных данных, которые называют узловыми точками:

.

Виды аппроксимации:

Интерполяция – аппроксимирующая функция должна проходить через все узловые точки. Цель – получение значений в промежутках между узловыми точками. Пример изображен на рис.20.

Регрессия – аппроксимирующая функция минимизирует расстояние между аппроксимирующей функцией и узловыми точками по определённому критерию (и проходить через узловые функции не обязана). Пример изображен на рис.21.

Экстраполяция – получение значений аппроксимируемой функции за пределами интервала, в котором заданы узловые точки. Для рис.20 и 21 отрезок следует считать участком экстраполяции имеющихся данных.

Рис.20. Интерполяция данных. Рис.21. Регрессия данных.

Для оценки точности аппроксимации в одной точке используется величина разности между известным значением и полученным в результате аппроксимации , которая называется невязкой:

.

Оценка точности для всего участка аппроксимации проводится на основе интегральной величины: меры близости, способы вычисления которой зависят от характера решаемой задачи. Наиболее часто используют следующие меры:

- абсолютная мера,

- усредненная мера,

– средняя квадратичная мера близости.

Типичные аппроксимирующие функции:

Многочлены: .

Полиномы: , где множество функций должно обладать свойствами ортогональности. Например, тригонометрические, гиперболические или эллиптические функции.

Рациональные дроби: g(x)=P(x)/Q(x), где P(х) и Q(х) - многочлены.