Переполняющие выходные потоки

Для некоторых систем интенсивность поступления требований уменьшается по мере занятости СМО из-за того, что ослабевает мощность источника требований. Один из вариантов такой системы имеет следующие параметры: , где n - номер состояния СМО.

Рис.12. Диаграмма состояний системы

с переполняющими входными потоками.

Используя формулы (3) и значения параметров СМО, получаем следующие значения вероятностных параметров системы:

, ,

- функция распределения Пуассона.

Коэффициент использования СМО в этом режиме равен:

.

Число требований, находящихся в системе с переполняющими выходными потоками, соответствует распределению Пуассона.

Среднее количество требований в системе: .

Среднее время пребывания требования в системе: .

Система устойчива, то есть ее очередь имеет ограниченную длину, если .

16.СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ СМО М/М/m БЕЗ ПОТЕРЬ

Система состоит из m обслуживающих приборов; следовательно, производительность СМО будет расти за счет задействования резервных приборов до тех пор, пока все приборы системы не окажутся занятыми. После исчерпания резерва требования будут накапливаться в очереди, то есть они не окажутся потерянными. Такая СМО может иметь следующие свойства по отношению к входному и выходному потокам: . Диаграмма состояний системы приведена на рис.13.

Рис.13. Диаграмма состояний системы М/М/m без потерь.

Вероятность нахождения системы в k-том состоянии равна:

, если ,

, если .

Вероятность опустошенности СМО равна:

Вероятность того, что очередное поступающее требование окажется в очереди равна: . Полученная функция называется функцией Эрланга.

17.СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ СМО М/М/m С ПОТЕРЯМИ

Система состоит из m обслуживающих приборов, следовательно, производительность СМО будет расти за счет задействования резервных приборов до тех пор, пока все приборы системы не окажутся занятыми. После исчерпания резерва поступающие требования будут получать "отказ" и безвозвратно теряться, то есть данная система не имеет накопителя для создания очереди. Такая СМО может иметь следующие свойства по отношению к входному и выходному потокам: . Диаграмма состояний системы приведена на рис.14.

Рис.14. Диаграмма состояний системы М/М/m с потерями.

Вероятность пребывания системы в n-м состоянии равна:

, где .

Рассматриваемая система характеризуется специальным параметром, который называется вероятностью полной занятости:

.

Эта формула также называется формулой потерь Эрланга.

Система всегда устойчива.

18.СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ СМО М/М/1/K

Система состоит из одного обслуживающего аппарата и накопителя длинной К. Требования, получившие отказ, считаются потерянными. Параметры системы: . Диаграмма приведена на рис.15.

Рис.15. Диаграмма состояний системы М/М/1/К.

Вероятность пребывания системы в n -м состоянии равна:

, где .

Система всегда устойчива.

19.СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ СМО М/М/1//M

Система имеет один обслуживающий прибор, конечное число источников нагрузки и неограниченную емкость очереди. Конечное число источников нагрузки можно интерпретировать как конечное число телефонных аппаратов, подключенных к одному общему коммутатору, причем, чем больше абонентов в данный момент разговаривают по телефону, тем меньше вероятность того, что поступит новый запрос на соединение. Параметры системы: . Диаграмма состояний системы имеет вид:

Рис.16. Диаграмма состояний системы М/М/1//M.

Вероятность пребывания системы в n-м состоянии равна:

, где .

Система всегда устойчива.

20.СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ СМО М/М///M

Система имеет конечное число источников нагрузки и неограниченные емкость очереди и количество обслуживающих приборов. Параметры системы: . Диаграмма состояний системы имеет вид:

Рис.17. Диаграмма состояний системы М/М///M.

Вероятность пребывания системы в n -м состоянии равна:

,

где - количество сочетаний из M по n,

вероятность опустошенности системы:

.

Среднее количество требований в системе: .

21.СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ СМО М/М/m/K/M

Система имеет m обслуживающих приборов, способна накапливать до К требований и мощность нагрузки равна М. Предполагается, что между этими параметрами справедливо следующее соотношение: .

Параметры системы: .

Диаграмма системы имеет следующий вид:

Рис.18. Диаграмма состояний системы М/М/m/K/M.

В области вероятность n-го состояния выражается зависимостью: , а в области выражается так: . Система всегда устойчива.