Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на (рис. 4.2).
В момент коммутации (при замыкании ключа «k»), согласно первому закону коммутации, ток в цепи мгновенно изменяться не может. Поэтому в момент t =0+ ток в цепи , и напряжение источника уравновешивается напряжением на индуктивности.
Согласно правилам, изложенным в предыдущем параграфе, заменим индуктивность источником тока.
а) б)
в) г)
Рис. 4.2. RL – цепь и ее резистивная форма
Обозначим этот ток (рис. 4.2 б). Цепь содержит один накопитель энергии (индуктивность) и один источник ЭДС (внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю). Поэтому, согласно (4.10), динамическая модель цепи может быть представлена уравнением [23]:
(4.13)
Заметим, что эта модель справедлива также для любой разветвленной цепи, содержащей только одну индуктивность и один источник электроэнергии (например, источник тока). Однако выражения для коэффициентов а и b будут отличаться, поскольку они определяются топологией конкретной цепи.
Цепь, изображенная на (рис. 4.2 б), приемлема только для момента t = 0+ при условии, что изменяется скачком. Она не содержит инерционных элементов. Поэтому (1.3-1) можно заменить алгебраическим уравнением:
(4.14)
Постоянный коэффициент а в уравнении (4.14) определяет приращение напряжения на индуктивности при изменении (скачком) тока , а коэффициент b - приращение напряжения на индуктивности при изменении ЭДС источника на величину .
Используя принцип суперпозиции (наложения), мы можем искусственно вводить лишь приращение одной переменной, а вторую при этом «замораживать». Например,
, (4.15)
. (4.16)
Для удобства определения неизвестных коэффициентов приращения переменных можно принять равными единице. Если увеличение тока на одну единицу (например, на 1 Ампер) будет приводить к уменьшению напряжения на индуктивности на величину , то коэффициент а должен приниматься со знаком «минус», а если к увеличению - со знаком «плюс». Аналогично определяется знак коэффициента b.
Согласно (4.15), «заморожено». Поэтому в резистивной форме цепи (рис.4.2 в) источник ЭДС отсутствует, однако сохранено его внутреннее сопротивление, равное нулю. Если в момент t = 0+ спомощью источника тока генерировать скачком ток , это вызовет падение напряжения на сопротивлении R, равное . С учетом принятых на схеме знаков, напряжение на источнике тока уменьшится на величину . Следовательно, коэффициент а по модулю равен , а с учетом знака приращения напряжения, он должен быть принят со знаком «-», то есть а = - R.
Теперь остановимся на уравнении (4.16). В момент времени t = 0 + ему соответствует резистивная цепь, приведенная на рис.4.2 г). Источник тока из цепи исключен, а его внутреннее сопротивление, равное бесконечности, оставлено.
Заметим, что при изменении скачком (на 1 вольт) напряжения , оно будет полностью приложено к источнику тока (ток в цепи отсутствует). С учетом знаков сигналов, напряжение на источнике тока возрастет до значения . Следовательно, коэффициент b = 1.
Дифференциальное уравнение (4.13), в отличие от алгебраического, позволяет описать процесс в любой момент времени 0+ £ t < ¥, в том числе - в момент t = 0+. Поэтому полученные коэффициенты могут быть перенесены в (4.13). Тогда будем иметь:
(4.17)
Запись (4.17) в форме Коши:
(4.18)
показывает, что матрицы А и В модели (4.4) вырождаются в элементы
Рассмотрим цепь, содержащую одну индуктивность и источник тока (рис.4.3 а). Ее резистивная схема представлена на (рис. 4.3 б).
Модель цепи (рис.4.2) сохраняется, с учетом того, что источником электроэнергии является источник тока
(4.19)
а) б)
Рис.4.3. RL – цепь с источником тока и ее резистивная форма.
Для резистивной цепи (рис. 4.3 б) справедливо алгебраическое уравнение
(4.20)
Генерируя при , мы получим: и аналогично будем иметь .
Таким образом, динамическая модель цепи, определяемая (4.19), представляется дифференциальным уравнением
или в форме Коши:
(4.21)
На рис. (4.4 а) приведена RC -цепь, подключаемая к источнику постоянной ЭДС. Возвращаясь к (4.10), мы видим, что при наличии одного накопителя энергии (емкости) и одного источника, независимо от числа и схемы соединений активных сопротивлений, модель цепи должна иметь вид:
(4.22)
а) б)
в) г)
Рис. 4.4. RC – цепь и ее резистивная форма.
Для получения значений а и b необходимо, согласно правилам, определить резистивную форму цепи. С этой целью выберем направление тока IC, генерируемого источником, и заменим емкость источником ЭДС. Направление ЭДС этого источника должно быть встречным току IС. Использование источника ЭДС вместо емкости в момент замыкания ключа t =0+ обосновывается тем, что напряжение на емкости, согласно второму закону коммутации, не может изменяться скачком. В момент замыкания ключа k в цепи устанавливается максимальный ток (при условии, если ).
Резистивная форма RС -цепи приведена на рис. (4.4 б). Левая часть (4.22) имеет размерность тока. Поэтому, переходя от дифференциального уравнения к алгебраическому, для резистивной цепи (рис. 4.4 б) мы получим:
(4.23)
Для определения коэффициентов а и b будем поочередно варьировать одну из двух переменных, оставляя другую без изменения. Предположим, что
.
Коэффициент а определяет, во сколько раз изменится ток через емкость , если напряжение на емкости изменится на одну единицу (например, 1 Вольт). Знак коэффициента будем принимать отрицательным, если под действием напряжения будет генерироваться ток, направленный встречно току IС.
При совпадении направлений генерируемого тока через емкость и тока IC соответствующий коэффициент будем записывать со знаком «+».
Согласно обозначениям, используемым на рис. (4.4 в), приращение тока по модулю равно:
Так как направление тока является встречным относительно IС, знак коэффициента должен быть «-», то есть .
Рассмотрим цепь, представленную на рис. (4.4 г), где источник ЭДС исключен, но в цепи содержится его внутреннее сопротивление, равное нулю. Под действием в цепи возникает ток .
Поскольку этот ток совпадает по направлению с током IС, знак коэффициента b, устанавливающего соотношение между и , должен быть «+», то есть:
.
Коэффициент .
Динамическая модель цепи (1.3-10) принимает вид:
,
и для переменной состояния UС (t) мы получаем стандартную форму записи:
(4.24)
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 398 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!