![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Расчет колебаний в динамических системах и сложных механических конструкциях часто выполняется с целью определения опасных для прочности деталей машин и узлов колебаний (вибраций) и установления способов их ослабления, либо устранения.
Опасным колебательным режимом является резонанс, характеризуемый резким увеличением амплитуды колебаний при совпадении частот собственных колебаний с частотой изменения внешних сил.
Простейшая колебательная система изображена на рис 3.2. Предположим, что движение массы совершается только по вертикальной оси. Масса прикреплена к пружине (упругому элементу), обладающей жесткостью
. Геометрическое положение системы определяется только одной координатой
, то есть является системой с одной степенью свободы.
При отклонении массы на расстояние
от положения равновесия упругий элемент создает восстанавливающую силу:
.
Движение массы при отсутствии рассеяния энергии представляет гармоническое колебание:
(3.10)
где – время,
– частота собственных колебаний, которая при отсутствии рассеяния энергии равна:
(3.11)
Амплитуда свободных колебаний определяется по формуле:
(3.12)
где – начальное перемещение тела,
– начальная скорость.
Фазовый угол
(3.13)
Полный запас энергии в системе равен сумме потенциальной
и кинетической
энергии:
, где
и
. Свободные колебания совершаются без рассеяния энергии, а также при отсутствии ее пополнения от внешнего источника:
(3.14)
Предположим теперь, что при движении тела сила сопротивления не равна нулю (пропорциональна скорости). Тогда перемещение тела во времени можно вычислить по формуле:
(3.15)
В системе с затуханием колебаний (3.15) частота собственных колебаний равна:
, (3.16)
где . Здесь
– сила сопротивления, отнесенная к единице скорости. При очень большом затухании
движение становится апериодическим, то есть теряет колебательный характер.
Если на массу воздействовать внешней силой
, то движение тела определится по формуле:
(3.17)
Правая часть уравнения (3.17) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое представляет затухающие свободные колебания, где амплитуда и фаза
определяются из начальных условий. Второе слагаемое определяет вынужденные колебания, имеющие частоту внешней силы. С увеличением времени
первое слагаемое, содержащее экспоненциальный член, уменьшается и через несколько периодов становится практически равным нулю. Вынужденные колебания продолжаются в течение всего времени действия внешней силы. Поэтому при изучении вынужденных колебаний можно принимать лишь второе слагаемое.
Амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле:
(3.18)
Отношение называется коэффициентом динамичности системы или коэффициентом динамического усиления. Величина
есть перемещение от статической силы, равной амплитуде гармонической силы
:
(3.19)
Коэффициент есть коэффициент демпфирования. Из формулы (3.18) следует, что
является функцией двух переменных:
и
. Поэтому для исследования зависимости коэффициента динамического усиления от указанных переменных произведем необходимые вычисления
и построим соответствующие графики.
Остановимся кратко на описании программы, составленной для этих целей в среде MatLAB и содержащейся в файле . Программа состоит из двух частей, позволяющих исследовать резонансные явления в механической системе и электрической цепи. Если подходить к резонансному режиму с позиций динамических аналогий, существующих между элементами электрической цепи и механической системы, то следовало бы иметь одну часть программы. Однако вторая часть, следующая после комментария «Electrical circuits», введена для удобства анализа, поскольку при описании резонансных явлений в электрических цепях использованы обозначения и формулы, определяемые спецификой изложения материала в соответствующих учебных курсах.
Файл
%File 'sah33.m'
%Resonance.
%Mechanical system.
clg;
MV=[0, 2.5, 0, 5.0];
axis(MV)
plot(2.5, 5.0)
hold on;
for gam=0:0.1:0.5;
clear w;
lam1=[];
for w=0:0.01:2.5;
lam=1/(sqrt((1-w^2)^2+(gam^2)*(w^2)));
lam1=[lam1;lam];
end;
w=0:0.01:2.5;
plot(w, lam1), grid,
end;
pause,
hold off;
axis('normal');
%Electrical circuits.
clg;
M1V1=[0, 2.5, 0, 1.0];
plot(2.5, 1.0), axis(M1V1)
hold on;
for q=1.0:2:9;
clear w1;
lam2=[];
for w1=0.01:0.01:2.5;
lam3=1/(sqrt(1+(q^2)*((w1-1/w1)^2)));
lam2=[lam2; lam3];
end;
w1=0.01:0.01:2.5;
plot(w1, lam2), grid,
end;
pause
hold off
axis('normal');
Первые три строки программы содержат комментарии. С помощью оператора
очищается графический экран. Затем вводится вектор
, с помощью которого путем использования оператора
задается масштаб по оси абсцисс и ординат. Первый элемент вектора – минимальное значение
, второй – максимальное значение
, третий – минимальное значение
, четвертый – его максимальное значение. Оператор
обеспечивает нанесение числовых данных на оси абсцисс и ординат.
![]() |
Чтобы построить графики шести кривых на одной и той же плоскости, необходимо в графическом окне сохранить предшествующие построения, исключить возможность их стирания. Режим наложения графиков друг на друга задается командой (восьмая строка программы), а отменяется по окончании построений командой
(двадцатая строка). Наконец, программа завершается выполнением оператора
, осуществляющего возврат к автоматическому масштабированию.
Результаты вычислений зависимости от отношения частоты возбуждения к собственной частоте для постоянных
, выполненные по программе
, представлены на рис. 3.3.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 618 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!