Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую два источника элек­троэнергии, две индуктивности и два конденсатора (рис. 4.6 а).

В момент t = 0₊ ключи k ₁ и k ₂замыкаются. Чтобы описать поведение элек­трической цепи в пере­ходном режиме, нам необ­ходимо получить динами­ческую модель. Поскольку цепь состоит из линейных элементов, можно утвер­ждать, что динамическая модель должна состоять из четырех дифференциаль­ных уравнений первого порядка (см. уравнения 4.10). Введем переменные состояния: токи через ин­дуктивности I_{L 1} (t), I_{L 2} (t) и напряжения на емкостях U_{C 1}(t), U_{C 2}(t). Будем считать их основными переменными состояния, так как в момент коммутации ключей k ₁и k ₂они не могут изменяться скачком. Составим матема­тическую модель электрической цепи в общем виде:

(4.28)

Чтобы найти выражения постоянных коэффициентов системы (4.28) в терминах параметров цепи, необходимо составить ее резистивную фор­му, отражающую взаимосвязь между переменными состояния в момент после коммутации, соответствующий времени t = =0₊. Резистивная форма цепи приведена на рис. (4.6 б). Введенные обозначения переменных в при­ращениях можно принимать равными единице. Используя принцип суперпо­зиции, мы варьируем лишь ту переменную, сомножителем которой являет­ся искомый коэффициент. Остальные переменные при этом не изменяем - «замораживаем». В итоге анализа имеем следующие значения:

а)

б)

Рис.4.6. а) Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии.

б) Резистивная форма цепи

Введем вектор состояния: вектор управления .Тогда (4.28), с учетом значений коэффициентов, выраженных через параметры цепи, можно представить матричным дифференциальным уравнением , где А и В матрицы, равные:

(4.29)

Для моделирования переходных процессов в рассматриваемой элек­трической цепи, необходимо задать вектор начальных условий . Очевидно, до замыкания клю­чей k ₁ и k ₂в начальный момент запасы энергии в цепи отсутствуют, и вектор .