Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Дифференциальные уравнения состояния, как правило, получают с помощью законов Кирхгофа путем выполнения преобразований по исключению переменных, не являющихся переменными состояния системы. Этот традиционный путь, однако, является довольно трудоемким, если цепь содержит несколько накопителей энергии.
Известны и другие способы составления уравнений состояния. Можно предложить достаточно эффективный способ, основанный на приведении исходной цепи к так называемой резистивной форме. Способ базируется на анализе состояния цепи в момент коммутации, то есть при t = 0+. В этот момент электрическая цепь, по существу, на мгновение «вырождается» и может рассматриваться как бы состоящей из резисторов, искусственно введенных источников тока и ЭДС, а также источников электроэнергии, к которым подключена цепь. Такая цепь может быть описана алгебраическими уравнениями. Коэффициенты, устанавливающие связь между переменными состояния, в этом случае определяются без особого труда. Поскольку дифференциальные уравнения позволяют определить переменные состояния в любой момент времени, в том числе в момент коммутации при t = 0+, для линейных цепей, допускающих принцип наложения, коэффициенты, полученные из алгебраических уравнений, приравниваются коэффициентам дифференциальных уравнений.
При переходе к резистивной форме электрической цепи в момент t = 0+ следует выполнить ряд условий. Индуктивности в цепи в момент коммутации следует заменить источниками тока, которые генерируют ток в том же направлении, что и в исходной цепи.
Все емкости необходимо заменить источниками ЭДС, причем, согласно теореме о компенсации, ЭДС этих источников должны быть направлены встречно токам в ветвях с емкостями. В результате такой замены электрическая цепь в момент t = 0+ окажется без индуктивностей и емкостей (чисто резистивной), но с введенными дополнительно источниками тока и ЭДС. В процессе преобразования электрической цепи к резистивной форме следует выделить линейную часть, состоящую из активных сопротивлений и образующую многополюсник. К узлам многополюсника необходимо подключить соответствующие емкости и индуктивности, не нарушая топологии цепи. В результате будет получена цепь, изображенная на (рис. 4.1).
В качестве переменных состояния удобно принять напряжения на емкостях и токи через индуктивности, так как эти величины (по законам коммутации) не могут изменяться скачком. Согласно (рис. 4.1), вектор состояния, образованный из переменных состояния, имеет вид:
(4.9)
где m + k = n - число накопителей энергии в цепи (индуктивностей и емкостей).
Рис.4.1. Многополюсник.
Электрическая цепь, начальное состояние которой определяется запасами энергии на емкостях и индуктивностях, может быть описана матричным дифференциальным уравнением вида (4.4) с матрицами А и В, элементы которых необходимо определить из резистивной формы цепи. Если мы имеем, например, цепь с сосредоточенными параметрами (рис. 4.9), содержащую т индуктивностей, k емкостей и r внешних источников энергии, то линейная модель цепи с вектором состояния (4.9) всегда может быть представлена в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
(4.10)
Заметим, что коэффициенты при производных в левой части уравнения (4.4) должны быть равны единице. Следовательно, разделив уравнения (4.10) слева и справа на соответствующие величины индуктивностей или емкостей, мы получим матрицы А и В:
(4.11)
(4.12)
Вектор источников ЭДС (токов) имеет размерность (г ´ l).
В процессе определения коэффициентов, входящих в уравнение (4.10), необходимо обращать особое внимание на их размерность, выраженную в физических единицах. Левые части уравнений (4.10), где содержатся индуктивности, имеют размерность (В). Поэтому постоянные коэффициенты, находящиеся справа от знаков равенства, должны иметь размерности сопротивления (Ом), если они являются сомножителями при токах через индуктивности, либо должны быть безразмерными, если они умножаются на напряжения на емкостях.
Размерность левых частей уравнений, содержащих произведения емкостей на производные от напряжений по времени, равна размерности тока (Ампер). Следовательно, постоянные коэффициенты в правых частях уравнений при токах через индуктивности являются безразмерными, а при напряжениях на конденсаторах - имеют размерность проводимости (Сименс).
Размерности коэффициентов, являющихся сомножителями при ЭДС и токах внешних источников электроэнергии, определяются аналогично.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 881 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!