Дифференциальное уравнение нелинейной САР в неявной форме

Понятия передаточной функции для замкнутой нелинейной САУ нет. Поэтому методика получения дифференциального уравнения для данного типа систем отличается от метода получения уравнения для линейных САУ. Получим дифференциальное уравнение для замкнутой нелинейной САУ, структурная схема которой представлена на рис. 2.31.

Рис. 2.31. Типовая структурная схема нелинейной САР

Обозначим передаточную функцию линейной части нелинейной САУ W_лч(S) как , откуда получим

Тогда дифференциальное уравнение для нее примет вид

Уравнение нелинейного элемента в неявной форме

Запишем уравнение для х(t)

Подставим, в получим дифференциальное уравнение для замкнутой нелинейной САР относительно u(t) в неявном виде.

На практике это уравнение не используют, поэтому получим дифференциальное уравнение относительно X(t). Для этого из выразим U(t) и подставим в, получим дифференциальное уравнение относительно X(t) в неявном виде

Если задающее воздействие g(t) =0, то из получим дифференциальное уравнение свободного движения нелинейной САР в неявном виде.

В связи с тем, что нелинейные САУ не имеют дифференциального уравнения в явном виде, для анализа и синтеза такого класса систем используют следующие подходы.

I-й подход.

· Принимая гипотезу о линейности статической характеристики нелинейного элемента, проводится анализ и синтез линеаризованной САУ.

· Затем, оценивается устойчивость нелинейной САУ, используя метод гармонической линеаризации, критерий устойчивости В.М. Попова либо Н.И. Цыпкина.

II-й подход.

· Составляется математическая модель для каждого участка статической характеристики нелинейного элемента.

· На основании метода пространства состояния системы и с учетом полученных математических моделей выполняется описание нелинейной САУ в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка.

· Анализируя решения систем дифференциальных уравнений первого порядка для каждого участка статической характеристики, оценивается устойчивость нелинейной САУ.