Использование критерия устойчивости В.М. Попова для анализа устойчивости нелинейной САУ

В.М.Поповым в 1959г. предложен весьма удобный частотный критерий исследования абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной САУ. Абсолютной устойчивостью называется асимптотическая устойчивость системы в целом. Использование критерия В.М. Попова требует учитывать следующие ограничения и допущения:

· Структурная схема должна быть типовой (см. рис. 2.30).

· Характеристика нелинейного элемента должна быть однозначной.

· Линейная часть нелинейной САУ должна быть устойчивой.

· Характеристика НЭ должна принадлежать сектору (см. рис. 2.37), т.е. должно выполняться условие: .

Рис. 2.37. Характеристика нелинейного элемента

Формулировка. Для того, чтобы положение равновесия нелинейной САУ было абсолютно устойчивым, необходимо выполнение неравенства

при всех , где произвольное вещественное число.

Другими словами, если можно подобрать конечное вещественное число таким чтобы выполнялось неравенство, то положение равновесия замкнутой САУ будет абсолютно устойчивым.

Как следует из формулировки критерия, он дает лишь необходимое, но не достаточное условие устойчивости, т.е. при несоблюдении критерия система может оказаться и устойчивой.

Неравенство называют неравенством Попова, и на практике применяется его графическое решение. Для удобства вводится в рассмотрение видоизмененная частотная характеристика линейной части .

Выделим в неравенстве из квадратной скобки действительную составляющую:

С учетом уравнений запишем неравенство как

Решение уравнения (2.54) сводиться к следующему (см. рис. 2.46):

· задавая частоту ω от 0 до , строим в комплексной плоскости видоизмененную частотную характеристику линейной части W_л^* (ј ω);

· в данной плоскости проводим прямую под любым наклоном α и через точку с координатами (-1/ , j0) (см. рис. 2.38 а).

Формулировка критерия Попова.

Для того, чтобы положение равновесия нелинейной САУ было абсолютно устойчивым, необходимо чтобы весь годограф видоизмененной частотной характеристики линейной части W_л^* (ј ω) располагался справа от прямой, проведенной под любым углом наклона , проходящую через точку с координатами (- 1/ , j0). Где - тангенс угла наклона прямой, ограничивающей сектор (0, ).

а)

б)

в)

Рис. 2.38. Решение неравенства Попова

Согласно рисунку, для а) – положение равновесия САУ является абсолютно устойчивым; для б) и в) – не возможно провести прямую, чтобы весь годограф видоизмененной частотной характеристики линейной части W_л (јω) располагался справа от нее, следовательно, условие критерия Попова не выполняется, но система может быть и устойчивой.

Пример 2.15. Используя критерий Попова, оценить устойчивость САР частоты вращения ДПТ с нелинейной характеристикой ГПТ.

Зададим параметры нелинейной характеристика ГПТ:

К_Г1 =8; b =4; m =0,1.

Решение.

Построим нелинейную характеристику ГПТ с учетом ее параметров (см. рис. 2.39).

Рис. 2.39. Нелинейная характеристика ГПТ

Воспользуемся передаточной функцией линейной части и параметрами системы примера 2.14

.

Переходим в частотный диапазон и, используя ППП Mathcad, строим годограф АФЧХ видоизмененной частотной характеристики линейной части W_л^* (јω) и проставляем точку с координатами .

Результаты приведены на рис. 2.40.

Рис. 2.40 Использование Критерия Попова для оценки устойчивости системы

Вывод. Критерий Попова выполняется, так как через точку можно провести прямую под любым углом наклона, чтобы весь годограф АФЧХ видоизмененной частотной характеристики линейной части W_л^*(јω) располагался справа от нее.