Спеціальні операції над нечіткими множинами

Ми вже розглянули ряд операцій над нечіткими множинами. Ці операції були подібні операціям із звичайними множинами, але як нова структура, нечіткі множини мають і нові властивості й відповідно на них можуть бути введені нові операції, які не мають сенсу для звичайних множин.

Визначимо спочатку декартовий добуток нечітких множин.

О з н а ч е н н я 4.14. Декартовим добутком нечітких множин A_i в X_i, i = 1, …, n буде нечітка множина A у декартовому добутку з функцією належності, яка має вигляд

. (4.52)

П р и к л а д 4.30. Визначимо декартовий добуток нечітких множин A та B, де , .

Відповідно означенню 4.14. маємо:

О з н а ч е н н я 4.15. Опуклою комбінацією нечітких множин , …, A_n в X називається нечітка множина A з функцією належності, що має вигляд

, (4.53)

де .

Для звичайних множин, на відміну від декартового добутку, операція опуклої комбінації не має сенсу.

О з н а ч е н н я 4.16. Операції концентрування(CON) та розтягування(DIL) визначимо таким чином:

CON A = A ², (4.54)

DIL A = A ^0,5, (4.55)

де

. (4.56)

П р и к л а д 4.31. Нехай E = { x ₁, …, x_n } - універсальна множина, A Ì E,

.

Визначимо множини B = CON A, C = DIL A.

,

.

П р и к л а д 4.31. Нехай нечітка множина A із R ¹ подана своєю функцією належності , тоді .

Графічно ці множини можна зобразити таким чином:

Рис. 4.13. Нечіткі множини А та CON A.

Застосування операції концентрування до поданої нечіткої множини означає зменшення “нечіткості” цієї множини. У реальних задачах це може означати надходження нової інформації, що дозволяє більш точно (чітко) описати подану нечітку множину. Аналогічним чином, операція розтягування може застосовуватися для моделювання ситуацій, які пов’язані з втратою інформації.