Відстань між нечіткими підмножинами

Відстань Хеммінга. Спочатку згадаємо поняття відстані Хеммінга для звичайних підмножин.

Нехай A і B дві звичайні підмножини скінченої множини ,

,

.

Під відстанню Хеммінга між A та B розуміють величину:

. (4.17)

Для нашого прикладу маємо

.

Відстань Хеммінга задовольняє всім аксіомам відстані, а саме:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

З а в д а н н я. Перевірити виконання цих аксіом для відстані Хеммінга.

Для скінченої множини E потужність якої m (E) = n (тобто n – число елементів множини E) визначимо також відносну відстань Хеммінгу

. (4.18)

Для підмножин A та B, що подані вище, маємо .

Очевидно, що завжди 0 £ d (A, B) £ 1.

Узагальнення поняття “відстань Хеммінга».

Розглянемо тепер три нечіткі підмножини A, B, C Ì E, E - скінченна множина потужності n.

(4.19)

(4.20)

(4.21)

Припустимо, що ми визначили відстань D (a_i, b_i) між a_i та b_i для всіх , а також для (b_i, c_i) та (a_i, c_i). Для цих відстаней будуть вірні нерівності [4]

(4.22)

Крім того, ми можемо записати

(4.23)

та

. (4.24)

Ці дві формули дають дві оцінки відстані між підмножинами: (4.23) дає лінійну оцінку, (4.24) - квадратичну.

Розглянемо випадок, коли функції належності нечітких підмножин приймають свої значення в [0,1], тобто, коли в (4.19) – (4.21) величини a_i, b_i, c_i Î [0,1], i = 1, 2, … n.

Нехай . Визначимо два типи відстаней.

О з н а ч е н н я 4.10. Узагальнена відстань Хеммінгаабо лінійна відстань визначається за формулою:

. (4.25)

Очевидно, що

0 £ d (A, B) £ n. (4.26)

О з н а ч е н н я 4.11. Евклідова або квадратична відстань визначається за такою формулою

. (4.27)

Для квадратичної відстані маємо

. (4.28)

Визначимо також відносні відстані.

Узагальнена відносна відстань Хеммінга:

, (4.29)

для цієї відстані вірно .

Відносна евклідова відстань

, (4.30)

.

Вибір тієї чи іншої відстані залежить від природи проблеми, яка розглядається. Кожна з цих відстаней має свої переваги та недоліки, які становляться певними при застосуваннях. Очевидно, що можна придумати і інші відстані.

П р и к л а д 4.19. Визначити відстань між нечіткими множинами

, .

Розв’язування

d (A, B) = |0,7 – 0,2| + |0,2 – 0| + |0 – 0| + |0,6 – 0,6| + |0,5 – 0,8| + |1 – 0,4| +

+ |0 – 1| = 0,5 + 0,2 + 0,3 + 0,6 + 1 = 2,6.

= ,

e (A, B)=1,32,

.

Відстані d (A, B), e (A, B) можуть бути визначені і у випадку, коли універсальна множина нескінченна (лічена або ні), якщо відповідні суми та інтеграли збігаються. Якщо E - лічена, маємо

, (4.31),

, (4.32),

якщо ці ряди збігаються.

Якщо E = R, то

, (4.33)

і

, (4.34)

якщо інтеграли збігаються.

У випадку, коли обмежена зверху та знизу, відповідні інтеграли завжди збігаються і d (A, B) та e (A, B) скінченні. Тоді можна також визначити і відносні відстані

, (4.35)

, (4.36)

де і .

Геометрична інтерпретація поняття відстані між нечіткими множинами A та B. Нехай нечіткі множини A та B є підмножинами універсальної множини , та їх функції належності та зображені на рис. 4.10. Тоді лінійна відстань – це площа заштрихованої фігури, що обмежена лініями та .

Рис. 4.10. Геометрична інтерпретація лінійної відстані