Операції над нечіткими відношеннями

Розглянемо тепер операції над нечіткими відношеннями. Деякі з них є аналогом відповідних операцій для звичайних відношень, але є ще операції, які притаманні лише нечітким відношенням. Зауважимо, також, що операції «об’єднання» та «переріз» нечітких відношень можна так само, як і у випадку нечітких множин визначити декількома способами.

О з н а ч е н н я 4.19. Нехай на множині Х подано два нечітких відношення А та В, тобто у декартовому добутку Х ² подано дві нечіткі підмножини А та В. Нечіткі множини та назвемо відповідно перерізом та об’єднанням нечітких відношень А та В на множині Х.

П р и к л а д 4.34. Відношення А та В подано у вигляді:

, .

Знайдемо переріз та об’єднання цих відношень за означеннями 4.6, 4.7:

, .

О з н а ч е н н я 4.20. Нечітке відношення В включає до себе нечітке відношення А, якщо для нечітких множин В та А виконується тобто

, .

У розглянутому прикладі 4.32 відношення включає до себе >>.

О з н а ч е н н я 4.21. Якщо R – нечітке відношення на множині Х, то нечітке відношення з функцією належності назвемо доповненням у Х відношення R.

Наприклад, для нечіткого відношення «краще», його доповнення – «не краще». Зворотне до R нечітке відношення на множині Х визначається таким чином:

, ,

або за допомогою функції належності , .

На відміну від звичайних відношень добуток (або композицію) нечітких відношень можна визначити багатьма способами.

Приведемо деякі з можливих визначень цієї операції.

О з н а ч е н н я 4.22. Максимінний добуток нечітких відношень А та В на множині Х визначається такою функцією належності:

.

У випадку скінченної множини Х матриця нечіткого відношення R дорівнює максимінному добутку матриць відношень А та В.

О з н а ч е н н я 4.23. Мінімаксний добутокнечітких відношень А та В на Х буде нечітке відношення з функцією належності:

.

О з н а ч е н н я 4.24. Максмультиплікативний добутокнечітких відношень А та В визначається функцією належності виду:

.

П р и к л а д 4.34. Нехай задані нечіткі відношення А та В.

, .

Знайдемо композиції відношень А та В за означеннями 4.22 – 4.24. Маємо:

max min – композиція:

,

min max – композиція:

,

max -· композиція:

.