Властивості нечітких відношень

Розглянемо тепер властивості нечітких відношень.

О з н а ч е н н я 4.25. Нечітке відношення R на множині Х називається рефлексивним, якщо для будь-якого виконується .

Якщо множина Х – скінченна, головна діагональ матриці рефлексивного нечіткого відношення включає самі одиниці.

Приклад рефлексивного відношення – відношення «приблизно дорівнює» на множині чисел.

О з н а ч е н н я 4.26. Нечітке відношення R буде антирефлексивним, якщо для .

Доповнення рефлексивного відношення антирефлексивно. Прикладом антирефлекстивного відношення на множині чисел може бути відношення «значно більше».

О з н а ч е н н я 4.27. Нечітке відношення R на множині Х називається симетричним, якщо для будь-яких виконується .

Матриця симетричного нечіткого відношення, поданого у скінченній множині, симетрична. Приклад такого відношення – відношення «сильно відрізнятися за величиною».

О з н а ч е н н я 4.28. Відношення R на множині Х буде асиметричним, якщо воно має таку властивість:

або ,

іншими словами:

.

Асиметричним є відношення «значно більше».

О з н а ч е н н я 4.29. Відношення R на множині Х буде антисиметричним, якщо

О з н а ч е н н я 4.30. Нечітке відношення R на множині Х називається транзитивним, якщо

Очевидно, властивість транзитивності залежить від способу визначення добутку відношень. Згідно з введеними раніше визначеннями ми можемо ввести три види транзитивності: max min ‑транзитивність, min max ‑транзитивність, max ‑×‑транзитивність.

Легко побачити, що R ² _max-· R ² _maxmin. Отже, з max min ‑транзитивності випливає max -×транзитивність. Прикладом max min - транзитивного відношення може бути відношення «значно більше» на множині чисел.

П р и к л а д 4.35. Перевірити транзитивність нечіткого відношення, що має вигляд

.

Розв’язування

Знайдемо композиції .

отже нечітке відношення R є max min ‑транзитивним й max-×-транзитивним. Перевіримо min max ‑транзитивність.

R ² _{min max} .

отже відношення R не є min max ‑транзитивним.

О з н а ч е н н я 4.31. Транзитивним замиканням нечіткого відношення R буде нечітке відношення таке, що

При визначенні транзитивного замикання необхідно визначити тип операції добутку відношень.

Має місце така теорема.

Т е о р е м а 4.2. Транзитивне замикання будь-якого бінарного відношення R є транзитивним бінарним відношенням і це найменше транзитивне відношення, що включає до себе R.

Зауважимо, що a -рівень транзитивного замикання нечіткого відношення співпадає з транзитивним замиканням відповідного a -рівня.

Приведемо формулювання двох теорем, які дозволяють побудувати транзитивне замикання у деяких випадках.

Т е о р е м а 4.3. Якщо існує таке k, що , то

.

Т е о р е м а 4.4. Нехай R – подане нечітке відношення на скінченній множині E і m (E) = n. Тоді або існує таке , що

П р и к л а д 4.36. Побудуємо транзитивне (max min) замикання відношення R, якщо

.

Для цього обчислимо послідовно R ², R ³.

, .

Отримуємо, що отже

.