Звичайна підмножина a-рівня нечіткої множини

О з н а ч е н н я 4.13. Нехай . Підмножиною a - рівнянечіткої підмножини A будемо називати звичайну множину

. (4.50)

П р и к л а д 4.24. Нехай нечітка множина А задана у вигляді: . Визначимо множини рівня 0,3 та 0,5 цієї

нечіткої підмножини:

, А _0,3 = { x ₁, x ₃, x ₄, x ₅, x ₇},

А _0,5 = { x ₁, x ₃, x ₅, x ₇}.

П р и к л а д 4.25. Нехай універсальна множина X = {1, 2,..., 6}, а функцію належності нечіткої множини A в X подано таблицею

.

Тоді для множини A можна виписати такі множини рівня:

A _0,1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A _0,3 = { 2, 3, 4, 5, 6},

A _0,5 = { 3, 4, 5, 6}, A _0,7 = { 4, 5, 6},

A _0,9 = { 5, 6}, A ₁ = { 6}.

П р и к л а д 4.26. Нехай , функцію належності нечіткої множини A зображено на рис. 4.12, а. Множини рівня a ₁ та a ₂ та їх функції належності зображено на рис. 4.12, б та 4.12, в.

Рис. 4.12. Множини рівня

Як видно з цих прикладів, для будь-яких α ₁ та a ₂, таких що 0 < a ₁ £ 1, 0 < a ₂ £ 1, і a ₂ < a ₁ для відповідних множин рівня та буде виконано

.

Множинами рівня зручно користуватися при формулюванні та аналізі деяких задач прийняття рішень, і це ми будемо використовувати далі.

Нехай та - множини рівня a об¢єднання та перерізу нечітких множин A та B відповідно. Розглянемо зв’язок цих множин з множинами рівня та . Якщо для операцій перерізу та об¢єднання прийняти означення 4.7 та 4.6. відповідно, то цей зв’язок такий:

У випадку означень 4.6, б. та 4.7 а. ми маємо лише включення

.

Для нечітких підмножин вірна теорема про декомпозицію.

Т е о р е м а 4.1. Будь-яку нечітку підмножину A можна розкласти на її множини рівня, тобто подати її у вигляді

, (4.51)

де , об¢єднання нечітких множин береться по всіх a з [0,1],

П р и к л а д 4.27. Для множини A та її множин рівня з приклада 4.25 ми можемо записати так:

А = 0,1{1, 2, 3, 4, 5, 6} 0,3{2, 3, 4, 5, 6} 0,5{3, 4, 5, 6} 0,7{4, 5, 6}

0,8{5, 6} 1{6}.

Формула розкладання буде вірною і у випадку, коли універсальна множина має потужність континуума.

П р и к л а д 4.28. Нехай нечітка множина подана своєю функцією належностіi . Розглянувши відрізок [a,1], де 0 < a £ 1, можемо записати

таким чином в цьому прикладі

Теорему про декомпозицію можна застосувати не тільки для аналізу, але і для синтезу.

Розглянемо послідовність звичайних підмножин A ₁ Ì A ₂ Ì A ₃... Ì A_n, та надамо значення a ₁ для A ₁, a ₂ для A ₂ і так далі a _n для A _n, причому a ₁ > a ₂ >... > a_n, тоді, використовуючи формулу (4.51) одержимо нечітку підмножину A.

П р и к л а д 4.29. Нехай подана звичайна множина X = { x ₁, x ₂, x ₃, …, x ₁₀}, її підмножини:

А ₁ = { x ₁, x ₄, x ₅, x ₇, x ₉},

A ₂ = { x ₁, x ₄, x ₅, x ₆, x ₇, x ₉},

A ₃ = { x ₁, x ₂, x ₄, x ₅, x ₆, x ₇, x ₉},

A ₄ = { x ₁, x₂, x ₄, x ₅, x ₆, x ₇, x ₉, x ₁₀},

і числа a ₁= 0,9, a ₂ = 0,5, a ₃ = 0,4, a ₄ = 0,1.

Використаємо формулу (4.51) і отримаємо нечітку множину A.

Побудуємо спочатку множини , за формулою:

Тоді маємо:

,

,

,

,

Об’єднуючи ці нечіткі множини отримаємо нечітку множину А:

.