Операції над нечіткими множинами

Над нечіткими множинами можна виконувати ті ж операції що і над звичайними множинами, але для них існують і спеціальні, тільки їм властиві операції. розглянемо спочатку звичайні операції над нечіткими множинами і їх властивості.

Операції над нечіткими підмножинами, такі, наприклад, як об¢єднання та переріз, можна визначити різними способами. Нижче ми дамо декілька таких визначень. Вибір конкретного з них залежить від сенсу, який вкладається в операцію в рамках поданої задачі. Але, оскільки звичайні множини є підкласом нечітких множин, то природною вимогою при визначенні цих операцій є те, що вони повинні правильно виконуватись для чітких множин.

О з н а ч е н н я 4.6. Об'єднанням нечітких підмножин A та B називається нечітка підмножина з функцією належності виду

(4.5)

Якщо - скінченне або нескінченне сімейство нечітких підмножин з функціями належності , де - параметр сімейства, то об¢єднанням множин цього сімейства є нечітка множина з функцією належності, що має вигляд:

(4.6)

Графічна інтерпретація цього означення подана на рис. 4.3. Тут нечіткі підмножини A та B числової прямої описуються відповідними функціями належності, зображеними на рисунку. Товстою лінією зображено функцію належності об¢єднання цих множин за означенням 4.6.

Рис. 4.3. Об’єднання нечітких множин А та В, коли

П р и к л а д 4.9. Нехай на універсальній множині E = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅}, подано нечіткі множини та . Знайти їх об’єднання.

Розв’язування

Згідно означення 4.6. отримуємо, що

О з н а ч е н н я 4.6, а. Об¢єднання нечітких підмножин A та B можна визначати також через обмежену суму їх функцій належності:

(4.7)

або інакше це можна записати таким чином:

. (4.8)

Результат об¢єднання за визначенням 4.6, а нечітких підмножин A та B з функціями належності та відповідно, зображено на рис. 4.4.

Рис. 4.4 Об’єднання нечітких множин А та В за визначенням 4.6, а

П р и к л а д 4.10. Для підмножин з прикладу 4.9 визначимо їх об¢єднання за визначенням 4.16, а. Маємо

.

О з н а ч е н н я 4.6, б. Об¢єднання нечітких множинможна визначити також через їх алгебраїчну суму, тобто об¢єднанням нечітких множин A та B буде нечітка множина з функцією належності

(4.9)

Графічне зображення функції належності об¢єднання. нечітких підмножин A та B за визначенням 4.6, б. з функціями належності та приведено на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Об’єднання нечітких множин А та В за означенням 4.6, б

П р и к л а д 4.11. Визначимо об¢єднання підмножин A та B з прикладу 4.9 за визначенням 4.6, б.

.

О з н а ч е н н я 4.7. Перерізом нечітких підмножин A та B універсальної множини E називається нечітка підмножина з функцією належності виду

. (4.10)

Графічне зображення функції належності перерізу двох нечітких множин A та B за означенням 4.7 приведено на рис.4.6.

Рис. 4.6. Переріз нечітких множин A та B за означенням 4.7

П р и к л а д 4.12. Для нечітких підмножин A та B універсальної множини E з прикладу 4.9 визначимо їхній переріз :

.

Якщо - скінченне або нескінченне сімейство нечітких підмножин з функціями належності , де - параметр сімейства, то перерізом множин цього сімейства є нечітка множина з функцією належності вигляду

(4.11)

О з н а ч е н н я 4.7, а. Інший спосіб визначення перерізу нечітких підмножин A та B - обмежений добуток їх функцій належності

. (4.12)

Графічно цей переріз можна зобразити як показано на рис. 4.7. Тут та – функції належності нечітких підмножин A та B відповідно. Товстою лінією зображена функція належності перерізу A та B.

Рис. 4.7. Переріз нечітких множин за означенням 4.7, а

П р и к л а д 4.13. Знайдемо переріз нечітких підмножин A та B за означенням 4.7, а та 4.7, б. Якщо , , E = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅},

,

,

Тоді .

Переріз двох нечітких множин A та B можна також визначити через алгебраїчний добуток їх функцій належності.

О з н а ч е н н я 4.7, б. Перерізом нечітких множин A та B назвемо нечітку множину з функцією належності, що дорівнює алгебраїчному добутку функцій належності даних множин

, (4.13)

Для нечітких множин A та B з функціями належності та , що зображені на рис. 4.8, функція належності перерізу зображена товстою лінією.

О з н а ч е н н я 4.8. Доповненням нечіткої множини A в E називається нечітка множина з функцією належності виду:

(4.14)

Рис. 4.8. Переріз нечітких множин А та В за означенням 4.7, б

Зауважимо, що для нечітких множин властивість , що за всіх умов виконується для звичайних множин, не завжди виконуватиметься. Наприклад, для даного визначення доповнення нечіткої множини, , якщо переріз визначено за правилом 4.7 або 4.7, б, але при визначенні перерізу за правилом 4.7, а, властивість має місце.

П р и к л а д 4.18. Розглянемо нечітку підмножину A = {множина чисел, що значно більші за 0}, і нехай функція належності цієї підмножини має вигляд, що зображений на рис. 4.9 (суцільна крива). Тоді доповненням нечіткої множини буде нечітка множина чисел, які не є значно більшими нуля. Цій множині відповідає функція належності, яка зображена на рис. 4.9 пунктирною лінією.

Рис. 4.9. Доповнення нечіткої множини.

Непустий переріз множин A та в цьому прикладі є нечітка множина чисел, які “значно більші за нуль і не є значно більшими за нуль” одночасно. Непустота цієї нечіткої множини відображає той факт, що саме поняття “бути значно більшим” описано нечітко, тому деякі числа можуть в якійсь мірі належати одночасно до обох множин. В певному сенсі цей переріз ми можемо вважати «нечіткою межею» між множинами A та .

О з н а ч е н н я 4.9. Різницею множин A та B в E назвемо нечітку множину A \ B, що має таку функцію належності:

(4.15)

тобто

. (4.16)