Метод головного критерію

Розглянемо задачу багатокритеріальної оптимізації в якій всі критерії мінімізуються, і впорядковані за важливістю.

.

Головна ідея методу полягає в тому, що вихідна багатокритеріальна задача оптимізації замінюється задачею оптимізації за одним критерієм з додатковими обмеженнями, які дозволяють в певному сенсі врахувати вимоги, які описувалися іншими критеріями.

Опишемо схему методу.

1. Вибирається один головний критерій за яким буде проводитися оптимізація.

2. Для менш важливих критеріїв обчислюються допустимі значення .

3. Критерії замінюються обмеженнями виду для .

4. Замість вихідної задачі розглядається така скалярна задача:

Перевагою описаного методу є те, що для його реалізації не потрібна кількісна оцінка пріоритетів критеріїв. А недоліком – складність визначення допустимих значень критеріїв. В більшості випадків ці значення вибираються суб’єктивно. Тому, якщо критерії рівнозначні, за головний може бути обраний будь-який з них, але краще той, для якого визначити допустимі значення найскладніше.

Зауважимо також, що рішення, отримане за допомогою цього методу завжди буде слабо ефективним, а у випадку коли воно єдине, то й сильно ефективним.

Метод головного критерію може бути застосований і для задач, в яких критерії максимізуються. В цьому випадку додаткові обмеження будуть мати вигляд .

П р и к л а д 3.12. Методом головного критерію розв’язати задачу багатокритеріальної оптимізації:

якщо пріоритети критеріїв задані таким чином: , і відомо граничні значення для критеріїв 20, 5.

Розв’язування

Для розв’язування задачі оберемо за головний критерій, який має найбільшу важливість. У даному випадку це критерій . Для інших двох критеріїв задамо обмеження, використовуючи відомі граничні значення. Оскільки критерій потрібно мінімізувати, відповідне йому обмеження буде мати вигляд . Для критерію (який максимізується) обмеження набуде виду і, таким чином, вихідну багатокритеріальну задачу зведено до такої скалярної задачі:

розв’язуючи цю задачу маємо: , , значення критеріїв на цьому рішенні

Розглянемо геометричну інтерпретацію рішення цієї задачі.

Для цього спочатку побудуємо область допустимих рішень і критеріїв вихідної задачі (рис. 3.14). Область допустимих рішень вихідної задачі – ABCDE. Додаткові обмеження змінюють цю область до множини EFGLMN, відкидаючи всі заздалегідь неприйнятні рішення за критеріями . Зміна граничних значень критеріїв змінює і відповідну область допустимих рішень отриманої скалярної задачі. На рис. 3.14 це показано штриховими і штрих пунктирними лініями. Для даної задачі, вочевидь, обмеження, що відповідає другому критерію не впливають на рішення скалярної задачі, а активним є обмеження, яке відповідає першому критерію. Якщо змінити порогові значення для цього критерію, то зміниться і рішення задачі. При різних значеннях ми отримуємо різні рішення, кожне з яких буде слабо ефективним. Таким чином, змінюючи порогові значення критеріїв можна отримати всі слабо ефективні рішення вихідної багатокритеріальної задачі оптимізації.

A

B

C

D

E

f 1

f 2

f 3

G

F

L

M

N

Рис. 3.15. Геометрична інтерпретація до прикладу 3.12