Методи нормалізації критеріїв

Модель відносної поступки інваріантна до масштабу вимірювання критеріїв, проте, в більшості випадків доводиться використовувати інші моделі, що мають сенс лише в нормалізованому просторі критеріїв, оскільки найчастіше масштаби виміру критеріїв неоднакові і виникає необхідність проводити нормалізацію критеріїв, тобто штучно приводити їх до єдиної міри.

Більшість методів нормалізації ґрунтується на введенні поняття «ідеальної якості», тобто вектора, який має ідеальне значення ефективності у^u. Тоді вибір оптимального рішення стає рівнозначним найкращому наближенню до цього ідеального вектора у^u = (y ₁ ^u, …, y_m^u). Різні методи отримуємо залежно від того, що вважати ідеальним вектором і в якому сенсі розуміють «найкраще наближення».

Часто замість дійсної величини критеріїв розглядаються або їх відхилення від ідеального значення D y_j = y_j^u – y_j, або безрозмірна величина критерію , вочевидь , .

При вирішенні багатокритеріальних задач оптимізації використовуються обидва способи перетворення масштабу. Проте для нормалізації може бути використаний лише другий, оскільки він не залежить від масштабу вимірювання критеріїв, не утискає права якого-небудь з критеріїв і приводить всі критерії до єдиного масштабу [0,1].

Розглянемо, залежно від способу вибору у^u, основні способи нормалізації.

Спосіб 1. Ідеальний вектор якості визначається заданою величиною критеріїв .

Цей випадок досить рідкий, тобто визначення заданої величини критеріїв, як правило, пов'язане з серйозними труднощами, а її аргументація дуже суб'єктивна, що приводить до суб'єктивного оптимального рішення.

Спосіб 2.Як ідеальний вектор ефективності береться вектор, компонентами якого є оптимум альні значення локальних критеріїв. Наприклад для задачі, де всі критерії максимізуються буде вірним:

.

Далі замість абсолютної величини критеріїв вводиться їх відносна безрозмірна величина

, .

Недоліком цього способу нормалізації є те, що він істотно залежить від максимального можливого рівня критеріїв, визначуваного умовами задачі. Перевага автоматично віддається критерію з найбільшою величиною локального оптимуму і рівноправність критеріїв порушується.

Той же недолік має і спосіб Севіджу (принцип найменшого жалю).

Тут ідеальний вектор має такий же вигляд, але простір критеріїв трансформується в простір відхилень.

, .

і подальший вибір здійснюється на основі принципу мінімаксу. Цей спосіб також суттєво залежить від масштабу вимірювання критеріїв.

Спосіб 3. Туткомпонентами ідеального вектора служать точні верхні границі (sup)(або для задач мінімізації – точні нижні границі (inf)) локальних критеріїв, що визначені на просторі рішень Y, а саме

,

і вводяться відносні критерії за формулами:

, .

Цей спосіб нормалізації є найбільш справедливим і не зачіпає «прав» жодного з критеріїв. Він до того ж об'єктивний і не залежить від масштабу критеріїв. Проте дуже часто цей спосіб непридатний, оскільки границею критеріїв є нескінченність. Правда, в цьому випадку можлива наближена реалізація даного способу нормалізації шляхом задавання деякого, достатньо високого рівня критеріїв.

Спосіб 4. Тут компонентами y^u є максимально можливі відхилення критеріїв в умовах даної задачі:

, ,

або без обмежень

, .

При цьому способі потрібна спеціальна перевірка умов інваріантності до початку координат і масштабам вимірювання критерію принаймні для деяких принципів компромісу.

Спосіб 5. Тут нормалізація проводиться на одиничному гіперкубі таким чином. Вважають , , j Î I, або , , j Î I.

В цьому випадку також можливі порушення умов інваріантності до початку координат і масштабу вимірювання критеріїв для цілого ряду моделей.

Як видно, успішне вирішення проблеми нормалізації багато в чому залежить від того, наскільки точно і об'єктивно удається визначити ідеальну якість рішень, а нормалізація, по суті справи, зводиться до деякої трансформації простору критеріїв, тобто до вибору зручної і «справедливої» топології, в якій задача вибору рішення по декільком критеріям набуває строгого і ясного сенсу.

Таким чином, перетворення, повинні задовольняти таким вимогам:

- враховувати необхідність мінімізації відхилень від оптимальних значень за кожною функцією цілі;

- мати спільний початок відліку і один порядок зміни значень на всій множині допустимих альтернатив;

- зберігати відношення переваги на всій множині альтернатив, порівнянних за вихідними функціями цілі.

Найбільш поширеними, виходячи з вищевикладених способів, є перетворення

(3.10)

(3.11)

Розглянуті способи нормалізації припускають однакову важливість критеріїв, але в більшості випадків критерії нерівнозначні і тому необхідно враховувати пріоритети критеріїв.