Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі

Розглянемо задачу багатокритеріальної оптимізації

w_i (х) ® min, i Î I,

х Î Х,

де 0 < w_i (x) < 1, i Î I і задана перевага на множині функцій цілі w.

Л е м а 3.2.Для кожної допустимої альтернативи х Î Х, такої що, 0 < w_i (x) < 1, для i Î I, в просторі W Ì Е^М існує вектор р, який задовольняє співвідношенням:

p = (p ₁, p ₂, … p_M) = { p: p_i > 0, " i Î I, }, (3.12)

і число k ₀ > 0, таке що альтернатива х Î Х задовольняє одночасно М рівностям

p_i w_i (x) = k₀, i Î I. (3.13)

Доведення

Оскільки w_i (х) > 0, для i Î I, то розділивши обидві частини виразу (3.13) на w_i (х), отримаємо, що

р_i = k ₀/ w_i (x). (3.14)

Але оскільки величини р_i повинні задовольняти умові (3.12) то підставивши в співвідношення вираз для р_i, отримаємо

, (3.15)

і, відповідно, . (3.16)

Це і доводить лему.

З а у в а ж е н н я. Вираз (3.15), що визначає параметр k₀, є монотонно зростаючою функцією по кожній із змінних w_i (х) на інтервалі (0,1), при цьому k₀ Î (0; 1/ М).

Л е м а 3.3. Якщо для двох нееквівалентних альтернатив х ^* та х ^** з множини Х вектори р ^* і р ^** співпадають (p_i^* = p_i^**, для всіх i Î I), то w_i (х^*) = γw_i (х^**), для всіх i Î I і k ₀(х^*) = γk ₀(х^**), де γ – коефіцієнт пропорційності g ¹ 1.

Доведення

х^* задовольняє р_i , тобто w_i (х^*) = k₀ (х^*), для всіх i Î I,

х^** задовольняє р_i , тобто w_i (х^**) = k₀ (х^**), для всіх i Î I,

звідси і .

Якщо тепер врахувати, що p_i* = p_i**, для всіх i Î I, отримаємо, що

,

це і доводить лему.

Відмітимо, що напрям, визначуваний вектором р Î Р⁺, задається для альтернатив, що знаходяться в позитивному октанті в просторі W значень функції w.

Довільний вектор вагових коефіцієнтів р Î Р⁺, що задовольняє умовам (3.12) інтерпретуватимемо як віддавання переваги функції цілі одною перед одною, виражене в кількісній шкалі.

Визначимо напрям, породжений вектором р в просторі W. Задамо цей напрям кутами β_i (i Î I) між осями координат і радіус-вектором р.

Тоді

Де e_i = (0,..., 0, 1, 0, …, 0), орт на вісі w_i, а w^* = { w_i^* } – точка, що знаходиться в просторі W на промені р.

Враховуючи це співвідношення і умову нормування, запишемо систему лінійно-незалежних рівнянь, з яких легко можуть бути знайдені невідомі направляючі косинуси:

.

З іншого боку через лему 3.2, для будь-якої точки w^* виконується система рівностей (3.13) звідки

звідси

Розв’язуючи цю систему, отримаємо таку формулу для направляючих косинусів вектора р.

. (3.17)

Вважатимемо функції цілі рівноцінними, якщо р_i = 1 / M, , тоді направляючи косинуси вектора р в просторі W визначатимуться за формулами:

.

Таким чином, задавання переваг між цільовими функціями в кількісній шкалі за допомогою співвідношення (3.12) вказує напрям пошуку рішень в просторі значень W вибраних перетворень.

Тому під рішенням задачі векторної оптимізації розумітимемо таку компромісну альтернативу, яка належить множині ефективних альтернатив і лежить на заданому напрямі, визначуваному вектором р Î Р⁺, в просторі W значень вибраних перетворень функцій.

Якщо для деякої альтернативи x і заданого вектора р Î Р⁺ виконується співвідношення p_iw_i (x) = k ₀, i Î I, то говоритимемо,що альтернатива х лежить на напрямі, визначеному вектором р Î Р.

Знайдемо, яке значення параметра k ₀ відповідає ефективній альтернативі, що лежить в заданому напрямі, визначуваному вектором р.

Т е о р е м а 3.4. Якщо х ₀ – ефективна альтернатива для заданого вектора р Î Р⁺, то їй відповідає найменше значення параметра k ₀, при якому система рівностей (3.10)виконується одночасно для всіх i Î I.

Якщо за перетворення w_i (f_i (х)), i Î I обрати перетворення виду (3.10), то з врахуванням цієї теореми рішення задачі векторної оптимізації можна визначити таким чином: під рішенням задачі векторної оптимізації для заданого вектора переваг р Î Р⁺ розуміється компромісна альтернатива х^к Î Х, яка забезпечує однакові мінімальні зважені відносні втрати за всіма критеріями одночасно.