Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації

3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію(методи згортки)

Розглянемо методи рішення, що полягають в зведенні початкової багатокритеріальної задачі до скалярної шляхом введення деякого узагальненого критерію. Всі ці методи мають є схему:

1. Всі критерії нормують, тобто приводять до порівнянного безрозмірного вигляду;

2. Їх «згортають» в одну цільову функцію, так званий узагальнений критерій, враховуючи їх відносну важливість за допомогою вагових коефіцієнтів ;

У результаті вихідна багатокритеріальна задача зводиться до звичайної задачі оптимізації за одним критерієм.

Найбільш поширеними видами згортки є такі:

1. Узагальнені критерії на основі середнєзваженої функції

.

Серед цих критеріїв особливо виділяють критерій – лінійна згортка критеріїв. Він зручний у використанні і дозволяє зберігати лінійність вихідних функцій. Тобто, якщо вихідні критерії лінійні, то результуючий критерій також буде лінійним.

2. Мультиплікативна згортка .

3. Дуже поширеними є також критерій

(у задачах із min і max).

Тут в чисельнику сума критеріїв, які максимізуються, а в знаменнику – сума критеріїв які мінімізуються.

Недолік цього критерію в тому, що він заснований на явному допущенні, що нестача в одному показнику може компенсуватися за рахунок іншого; наприклад низька продуктивність за рахунок низької вартості.

Пригадаємо «критерій оцінки людини». Він має вигляд дробу, де в чисельнику гідності, а в знаменнику його думка про себе.

Часто використовуваним є також і критерій , і тоді замість багатокритеріальної задачі розглядається максимінна задача із скалярним критерієм.

Широко використовується на практиці також метод цільового програмування.

Основу цього методу так само складає зведення всіх критеріїв в один узагальнюючий критерій, що має сенс відстані від даної векторної оцінки до недосяжної ідеальної точки b* = (b ₁ * … b_m*).

Найчастіше застосовують узагальнений критерій виду:

оскільки для лінійних детермінованих задач оптимальні за цим критерієм рішення можна відшукати симплекс методом.

П р и к л а д 3.11. Розв’язати задачу багатокритеріальної оптимізації методом згортки, якщо пріоритети критеріїв a ₁ = 0,7 та a ₂ = 0,3. Критерії вважати нормалізованими.

Розв’язування

Оскільки критерії нормовані нормалізація непотрібна. Проведемо згортку критеріїв, враховуючи пріоритети і напрямок оптимізації.

,

Тоді задача набуває виду:

Для розв’язку цієї задачі можна використовувати симплекс-метод, або розв’язати її графічно.

В результаті розв’язування задачі маємо: х ₁ = 6, х ₂ = 4, значення функції F (x ₁, x ₂) = 26, f ₁(x) = 26, f₂ (x) = 2.