 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Операции над матрицами
|
|
1. Сложение матриц.
Определение. Суммой матриц 
и 
одинаковой размерности m´n называется матрица той же размерности 
, элементы которой 
(
) равны суммам соответствующих элементов матриц 
и 
:
2. Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы на число k называется матрица 
, элементы которой 
(
) равны произведению соответствующих элементов матрицы на число k:
.
Частные случаи умножения матрицы на число:
- произведение матрицы А на число 0равно нулевой матрице А: 0´ А =0.
- при k = -1, то матрица – А является противоположной матрицей для матрицы А.
Свойства операций сложения и умножения на число:
- коммутативность операции сложения матриц: А + В = В + А;
- ассоциативность операции сложения матриц: (A + B)+ C = A +(B + C);
- дистрибутивность относительно сложения матриц: k (A + B)= kA + kB;
- дистрибутивность относительно сложения чисел: (k +λ) А = kA +λ А;
- ассоциативность операции умножения матрицы на число: k (λ А)= (k λ) А, где A, B, C – матрицы, k иλ– числа.
Определение. 
Линейной комбинацией матриц А и В одинаковой размерности m´n называется выражение вида kА+λВ.
3. Разность матриц.
Определение. Если и — две матрицы одинаковой размерности m´n, то под их разностью понимается матрица 
, элементы которой 
() равны суммам элементов матрицы и матрицы , умноженной на число k = -1.
4. Умножение матриц.
Произведение матриц 
определено только тогда, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Определение. Произведением матрицы 
и матрицы 
называется матрица 
, элементы которой сij равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы 
:
для 
.
Теорема (свойства операции умножения).
- ассоциативность умножения матриц: (АВ)C = A(BC);
Доказательство. Покажем, что если существует одна из частей равенства, то существует и другая, причем обе части имеют одинаковую размерность.
Пусть существует матрица (АВ)C, тогда существует и АВ и А размерности 
, В размерности 
. Таким образом, матрица АВ имеет размерность 
. При этом 
– размерность матрицы С и (АВ)C имеет размерность 
. Аналогичными рассуждениями получаем, что существует матрица A(BC), которая имеет размерность .
Покажем, что соответствующие элементы матриц (АВ)C и A(BC) совпадают. Обозначим элементы матриц следующим образом: 
; 
; 
. Тогда по определению произведения матриц получаем
■
- ассоциативность умножения матриц на число: a(АВ)=(aА)В=А(aВ).
- отсутствие коммутативности операции умножения матриц: АВ¹ВА (если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутативными). Возможны следующие причины некоммутативности матриц.
1. Существует матрица АВ, но не существует ВА.
2. Матрицы АВ и ВА существуют, но имеют различные размерности. Матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размерности тогда и только тогда, когда А и В квадратные, причем одного и того же порядка.
3. Матрицы АВ и ВА существуют, имеют одинаковые размерности, но АВ¹ВА.
- дистрибутивность операции умножения матриц:
(A+B)C=AС+ВC,
C(A+B) = CA+CB;
Частные случаи умножения матриц:
1. При умножении матрицы-строки на матрицу -столбец получается число:
.
2. При умножении матрицы на вектор получается вектор: 
, 
3. Единичная матрица Е n -го порядка играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу А такого же порядка, т.е. для любой матрицы А n -го порядка справедливо следующее равенство: 
.
Доказательство. Матрицы А и Е имеют одинаковые размерности. Тогда
.
Следовательно, 
. Аналогично доказывается, что 
. ■
5. Возведение в степень матриц.
Возведение квадратной матрицы Аm в целую положительную степень m (m> 1) называется произведение m матриц, равных А:
Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.
Свойства операции возведения в степень:
- А 0 = Е.
- А 1 = А.
- Аm ´ Аk= Аm+k.
- (Аm) k= Аmk.
Определение. Если задан многочлен n–й степени (
) относительно x
,
то матричным многочленом f(A) называется выражение вида
,
где A – квадратная матрица n-го порядка и E – единичная матрица того же порядка. Значением матричного многочлена 
при заданной матрице A является матрица порядка n.
Пример. Найти значение матричного многочлена f (A), если
и 
.
Решение.
.
6. Транспонирование матриц.
Определение. Транспонированием матрицы А называется такое преобразование матрицы, при котором строки матрицы А заменяются на ее столбцы с сохранением их порядка и обозначается АТ (или А').
Матрица АТ, транспонированная по отношению к матрице А, имеет вид:
Свойства операции транспонирования:
- (АТ) Т = A.
- (lA) Т = lAТ.
- (A + В) Т = AТ + ВТ.
- (A ´ В) Т = ВТ ´ AТ.
Доказательство. Так как по условию произведение матриц AВ существует, то матрицы имеют следующие размеры: 
, и , 
. Ясно, что транспонированные матрицы имеют размеры: 
, 
. Следовательно, существует матрица 
. Таким образом, размерности матриц и совпадают.
Обозначим элементы матрицы А через 
(для 
), элементы матрицы В через 
(для 
). Тогда
,
т.е. 
, где и . Следовательно, 
. ■
Определение. Квадратная матрица, которая не меняется при транспонировании AТ=А, называется симметричной.
Например, матрица 
.
Определение. Элемент строки матрицы А называется крайним, если он не равен нулю, а все элементы этой строки, находящиеся левее него равны нулю.
Определение. Матрица A называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки этой матрицы находится правее крайнего элемента предыдущей строки, т.е.:
.
Пример:
не ступенчатая ступенчатая
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
- изменение порядка строк или столбцов матрицы;
- умножение всех элементов строки (или столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
- прибавление ко всем элементам одной строки (или столбца) матрицы соответствующих элементов одной строки (или столбца), умноженные на одно и то же число;
- транспонирование матрицы;
- вычеркивание (удаление) нулевых строк (столбцов);
- вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов).
Определение. Матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований (обозначается А~В).
Пример. Привести к ступенчатому виду матрицу
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 2622 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
