МАТРИЦЫ. Определение. Матрицей размера m´n называется система (m×n) чисел, расположенных в прямоугольной таблице

Основные понятия

Определение. Матрицей размера m´n называется система (m×n) чисел, расположенных в прямоугольной таблице, содержащей m строк и n столбцов. Матрица обозначается прописной латинской буквой и имеет вид:

,

где числа (для ), составляющие матрицу, называются элементами матрицы А, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент , а числа i и j – называются индексами элемента.

Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы пространства K^m, т.е. все столбцы – это n векторов пространства K^m. Обозначим их через . Тогда матрицу можно рассматривать как систему столбцов

Аналогично, все строки матрицы – это m векторов пространства Kⁿ. Обозначим их через . Тогда матрицу можно рассматривать как систему строк

Определение. Две матрицы одинаковой размерности (m´n) называются равными, если равны их соответствующие элементы:

.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается:

Определение. Матрица называется квадратной n – го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно n:

Определение. Элементы матрицы А, у которых номер строки равен номеру столбца (i=j), называются диагональными. Эти элементы лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол матрицы с правым нижним, и образуют главную диагональ матрицы: а₁₁, а₂₂,…, a_nn. Элементы, лежащие на отрезке, соединяющем ее левый нижним угол с правым верхний, образуют побочную диагональ: а_1n, а_2n-1,…, a_n1.

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей, т.е. матрицы вида:

,

являются треугольными: матрица А называется треугольной сверху, а матрица В называется треугольной снизу.

Определение. Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, т.е. , называется диагональной матрицей и обозначается:

Определение. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей и обозначается:

Введем в обозначение символ Кронекера . Тогда единичная матрица может быть записана в виде: .

Определение. Следом квадратной матрицы Aназывается сумма ее диагональных элементов: .