Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение. Пусть - произвольное Евклидово (унитарное) пространство и . Тогда косинус угла между х и у определяется
.
Если х=0 или у=0, то угол неопределен.
Определение. Два вектора х и у в произвольном Евклидовом (унитарном) пространстве называются ортогональными, если и обозначают х^у.
Следствие. ортогонален всем векторам из тогда и только тогда, когда х =0. (. Возьмем .)
Предложение. Пусть - система ненулевых попарно ортогональных векторов Евклидова (унитарного) пространства . Тогда эта система линейно независима.
Доказательство. Предположим, что система векторов линейно зависима. Тогда имеется набор чисел , не все равные нулю, такие, что .
Пусть . Умножим скалярно обе части уравнения на . Получим
.
Или, пользуясь линейностью скалярного произведения,
В силу ортогональности векторов получим равенство , возможное только при . Получили противоречие. ■
Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства, состоящий из попарно ортогональных векторов называется ортогональным.
Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства называется ортонормированным, если он состоит из попарно ортогональных векторов и нормы всех векторов в базисе равны единице (т.е. вектора нормированы). Вектора образуют базис (.
Теорема. (Критерий ортогональности). Базис в Евклидовом (унитарном) пространстве является ортонормированным тогда и только тогда, когда скалярное произведение в координатах в этом базисе задается по формуле
для R,
для С.
Доказательство. Пусть - произвольный вектор. Разложим его по ортонормированному базису
,
где - координаты вектора в базисе е. Тогда
.
Таким образом
вычисляется i -я координата вектора х. ■
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1084 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!