Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Ортонормированные системы векторов



Определение. Пусть - произвольное Евклидово (унитарное) пространство и . Тогда косинус угла между х и у определяется

.

Если х=0 или у=0, то угол неопределен.

Определение. Два вектора х и у в произвольном Евклидовом (унитарном) пространстве называются ортогональными, если и обозначают х^у.

Следствие. ортогонален всем векторам из тогда и только тогда, когда х =0. (. Возьмем .)

Предложение. Пусть - система ненулевых попарно ортогональных векторов Евклидова (унитарного) пространства . Тогда эта система линейно независима.

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно зависима. Тогда имеется набор чисел , не все равные нулю, такие, что .

Пусть . Умножим скалярно обе части уравнения на . Получим

.

Или, пользуясь линейностью скалярного произведения,

В силу ортогональности векторов получим равенство , возможное только при . Получили противоречие. ■

Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства, состоящий из попарно ортогональных векторов называется ортогональным.

Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства называется ортонормированным, если он состоит из попарно ортогональных векторов и нормы всех векторов в базисе равны единице (т.е. вектора нормированы). Вектора образуют базис (.

Теорема. (Критерий ортогональности). Базис в Евклидовом (унитарном) пространстве является ортонормированным тогда и только тогда, когда скалярное произведение в координатах в этом базисе задается по формуле

для R,

для С.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор. Разложим его по ортонормированному базису

,

где - координаты вектора в базисе е. Тогда

.

Таким образом

вычисляется i -я координата вектора х. ■





Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1084 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...