Ортонормированные системы векторов

Определение. Пусть - произвольное Евклидово (унитарное) пространство и . Тогда косинус угла между х и у определяется

.

Если х=0 или у=0, то угол неопределен.

Определение. Два вектора х и у в произвольном Евклидовом (унитарном) пространстве называются ортогональными, если и обозначают х^у.

Следствие. ортогонален всем векторам из тогда и только тогда, когда х =0. (. Возьмем .)

Предложение. Пусть - система ненулевых попарно ортогональных векторов Евклидова (унитарного) пространства . Тогда эта система линейно независима.

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно зависима. Тогда имеется набор чисел , не все равные нулю, такие, что .

Пусть . Умножим скалярно обе части уравнения на . Получим

.

Или, пользуясь линейностью скалярного произведения,

В силу ортогональности векторов получим равенство , возможное только при . Получили противоречие. ■

Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства, состоящий из попарно ортогональных векторов называется ортогональным.

Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства называется ортонормированным, если он состоит из попарно ортогональных векторов и нормы всех векторов в базисе равны единице (т.е. вектора нормированы). Вектора образуют базис (.

Теорема. (Критерий ортогональности). Базис в Евклидовом (унитарном) пространстве является ортонормированным тогда и только тогда, когда скалярное произведение в координатах в этом базисе задается по формуле

для R,

для С.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор. Разложим его по ортонормированному базису

,

где - координаты вектора в базисе е. Тогда

.

Таким образом

вычисляется i -я координата вектора х. ■