Свойства нормы

1) .

2) .

Действительно,

.

Теорема Неравенство Коши-Буняковского . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы.

Доказательство. Рассмотрим унитарное пространство. Возьмем , построим вектор . Тогда и в силу полулинейности скалярного произведения

Выберем при условии, что . (Если , то неравенство очевидно.) Получим

Умножим обе части на ,

.

Из общих частей извлечем арифметический корень:

■

Случай равенства рассмотреть самостоятельно.

Теорема Неравенство треугольника

.

Доказательство.

. ■

Введем расстояние: .