Обчислення змiшаного добутку векторiв

Нехай вектори , , заданi координатами

, , . Користуючись формулами (**), а також формулою обчислення скалярного добутку, одержимо:

Таким чином, змiшаний добуток векторiв дорiвнює визначниковi, рядками якого являються координати векторiв, що перемножаються.

Геометричний змicт змiшаного добутку. Абсолютна величина змiшаного добутку трьох векторiв дорiвнює об¢єму паралелепiпеда, побудованого на цих векторах (рис. 2.11). Дiйсно,

.

Умова компланарностi трьох векторiв.

Для того, щоб три ненульовi вектори були компланарнi, необхiдно i достатньо, щоб їх змiшаний добуток дорiвнював нулю.

# Дiйсно, якщо вектори компланарнi, то вектор перпендикулярний до вектора ; тодi скалярний добуток за умовою перпендикулярностi векторiв, а скалярний добуток дорiвнює змiшаному добутку

.

Якщо змiшаний добуток трьох векторiв , то об¢єм паралелепiпеда, побудованого на цих векторах, дорiвнює нулю, а це можливо лише тодi, коли вектори , , компланарнi. #