Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f (x) определена на промежутке X и x ₀ Î X.

Говорят, что в точке x ₀ функция f (x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x ₀, что для любого x из этой окрестности f (x) < f (x ₀).

Точка x ₀ называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x ₀, что для любого x из этой окрестности f (x) > f (x ₀).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

Если функция f (x) дифференцируема в точке x ₀ и некоторой ее окрестности и
x ₀ – точка экстремума, то (x ₀) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности x ₀ – точка максимума, тогда найдется окрестность (x ₀ – d, x ₀ + d) точки x ₀ такая что, для любого x Î(x ₀ – d, x ₀ + d)
f (x) < f (x ₀), т.е. f (x ₀) – наибольшее значение функции f (x) на интервале (x ₀ – d, x ₀ + d). Тогда по теореме Ферма (разд. 2.9) (x ₀) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Если x ₀ – точка экстремума, то (x ₀) = 0 или (x ₀) не существует.

В качестве примера приведем функцию f (x) = | x | (рис. 2.11).

Очевидно, что x ₀ = 0 является точкой минимума, так как |0| < | x | для любого x ¹ 0. А в точке x ₀ = 0 производной f' (0) не существует.

Если f' (x ₀) = 0 или f' (x ₀) не существует, то точку x ₀ будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x ₀, и x ₀ – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x ₀) = 0 или (x ₀) не существует). Тогда: 1) если при x < x ₀ производная (x) > 0, а для x > x ₀: (x) < 0, то x ₀ – точка максимума; 2) если при x < x ₀: (x) < 0, а при x > x ₀: (x) > 0, то x ₀ – точка минимума.

Доказательство. Пусть для x < x ₀: (x) > 0, а для x > x ₀: (x) < 0, т.е. при переходе через точку x ₀ слева направо производная меняет знак с + на –. Тогда слева от x ₀ функция f (x) возрастает, а справа от x ₀ функция f (x) убывает, следовательно, x ₀ – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x ₀ и некоторой ее окрестности и пусть (x ₀) = 0. Если (x ₀) > 0, то x ₀ – точка минимума. Если (x ₀) < 0, то x ₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть (x ₀) = 0 и (x ₀) > 0. Покажем, что x ₀ – точка минимума:

f'' (x ₀) = = > 0.

Тогда в некоторой окрестности точки x ₀ выполняется неравенство
> 0. Отсюда, если Dx < 0, то (x ₀ + Dx) < 0, а если Dx > 0, то (x ₀ + Dx) > 0, т.е. слева от точки x ₀ функция f (x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что
x ₀ – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для (x ₀) < 0.

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f (x) = x ² e ^{– x} . Построить ее график.

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–¥, ¥). Найдем производную: (x) = 2 xe^–x – x ² e^–x = xe^–x (2 – x). Тогда (x) = 0 при x ₁ = 0 и
x ₂ = 2, где x 1, x ₂ – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–¥; 0), (0; 2), (2; +¥). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f (x):

x		x 1 = 0	(0, 2)	x 2 = 0
(x)	(x) < 0		(x) > 0		(x) < 0
f (x)	убывает		возрастает		убывает

Определим знак (x) на каждом из интервалов: если x Î(–¥, 0), то (x) < 0; если x Î(0, 2), то (x)>0; если x Î(2, +¥), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f (x): на первом и последнем интервалах f (x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x ₁ = 0 является точкой минимума, y _мин(0) = 0, а x ₂ = 2 – точка максимума, y _макс(2) = » 0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и

x ² e^–x = 0,

x ² e^–x = ¥, f (–1) = e» 2,7.

График этой функции изображен на рис. 2.12.

Отметим, что дальнейшее исследование этой функции (см. следующий раздел) позволит уточнить ее график.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x + .

Решение. Область определения функции (-¥, 0)È(0, +¥), в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем f' (x) и f'' `(x): f `(x) = 1 – , f'' (x) = . Теперь найдем критические точки функции, для этого решим уравнение f' (x) = 0:
1 – = 0, отсюда x ₁ = –2, x ₂ = +2 – критические точки. Используем теорему 3 для исследования критических точек, для этого вычислим f'' (x) в точках x ₁ и x ₂. Так как
f'' (–2) = = –1< 0, то x ₁ = –2 является точкой максимума f _макс(–2) = –2 – = –4. Для x ₂: f'' (2) = = 1 > 0, поэтому x ₂ = 2 – точка минимума, f _мин(2) = 2 + = 4.

Таким образом, функция f (x) = x + имеет максимум при x ₁ = –2, f (–2) = –4 и имеет минимум при x ₂ = 2, f (2) = 4.

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения (см. гл. 1). Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.

Если на отрезке [ a, b ] есть точки минимума и максимума функции f (x) (рис. 2.13), то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка [ a, b ]. Аналогично для наибольшего значения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f (x), непрерывной на отрезке:

· найти критические точки x ₁, x ₂,..., x_n функции f (x), принадлежащие отрезку ;

· вычислить значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка;

· из этих значений выбрать самое большое и самое малое, эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями f (x) на отрезке [ a, b ].

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

f (x) = x ⁴ – 2 x ² + 5 на отрезке [–2, 2].

Решение. Найдем критические точки для данной функции:

(x) = 4 x ³ – 4 x = 4 x (x ² – 1);

(x) = 0 при x ₁ = 0, x ₂ = –1, x ₃ = +1, все три критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции в точках –2, –1, 0, 1, 2:

f (–2) = (–2)⁴ – 2×(–2)² + 5 = 16 – 8 + 5 = 13, f (–1) = 1 – 2 + 5 = 4,
f (0) = 5, f (1) = 4, f (2) =13.

Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.

Итак, наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение равно 13.