Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. Пусть функция f (x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x ₀ этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x ₀ существует производная этой функции, то = 0.

Доказательство. Пусть f (x ₀) = M – наибольшее значение функции на (a, b). Покажем, что f' (x ₀) = 0. По определению производной

= .

Так как f (x ₀) – наибольшее значение, то при любом знаке Dx имеем
f (x ₀ + Dx) – f (x ₀) £ 0. Отсюда, если Dx > 0, то £ 0, а поэтому
£ 0 (см. глава 1).

Если Dx < 0, то ³ 0, поэтому ³ 0. Так как – определенное число, то получаем, что = 0. Теорема доказана.

Геометрически теорему Ферма поясняет рис. 2.7. В точке x ₁ функция принимает наибольшее значение M, а в точке x ₂ – наименьшее значение m, касательные к графику y = f (x) в точках A и B параллельны оси Ox, так как f' (x ₁) = 0 и f' (x ₂) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема в каждой внутренней точке и f (a) = f (b), то существует, по крайней мере, одна внутренняя точка x ₀ отрезка [ a, b ], что f' (x ₀) = 0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m (см. главу 1)

Если M = m, то функция f (x) постоянна на отрезке [ a, b ], а потому f' (x) = 0 для любого x Î (a, b).

Рассмотрим случай, когда M ¹ m. Так как f (a) = f (b), то либо M ¹ f (a), либо
m ¹ f (a), тогда либо наибольшее значение M, либо наименьшее значение m достигается во внутренней точке x ₀, x ₀Î(a, b). Следовательно, по теореме Ферма = 0. Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля утверждает (рис. 2.8), что если функция непрерывная на [ a, b ] и дифференцируемая на (a, b), имеет на концах отрезка [ a, b ] одинаковые значения, то найдется точка x ₀ Î (a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна внутренняя точка x ₀ отрезка
[ a, b ], такая, что

=. . (2.14)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию:

F (x) = f (x) – (x – a)

и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Функция F (x) непрерывна на [ a, b ], так как на [ a, b ] непрерывны функции f (x) и (x – a). Производная

F' (x) = – (2.15)

существует в интервале (a, b). Вычислим F (x) на концах отрезка [ a, b ]:

F (a) = f (a) – (a – a) = f (a),

F (b) = f (b) – (b – a) = f (b) – f (b) + f (a) = f (a).

Значит, F (a) = F (b). По теореме Ролля найдется точка x ₀ Î (a, b), такая, что
F' (x ₀) = 0. Подставив x ₀ в равенство (2.15) получи F' (x ₀) = – , откуда = .

Теорема доказана.

Поясним теорему Лагранжа геометрически (рис. 2.9).

Отношение есть угловой коэффициент tg a хорды AB, соединяющей точки A (a, f (a)), B (b, f (b)), f' (x ₀) – угловой коэффициент касательной к графику y = f (x), проведенной в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)), и = tg a. Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y = f (x) найдется хотя бы одна точка M ₀, в которой касательная к графику параллельна хорде AB.

Заметим, что формулу (2.14) можно записать в виде:

f (b) – f (a) = (b – a). (2.16)

Обозначив x ₀ = c, a = x ₀, b – a = Dx, b = x ₀ + Dx, из формулы (2.16) получаем формулу:

f (x ₀ + D x) – f (x ₀) = (c) Dx. (2.17)

Формулы (2.16), (2.17) называют формулами конечных приращений, а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом теорема Лагранжа переформулируется следующим образом: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производной этой функции в некоторой внутренней точке отрезка.

Получим следствие из теоремы Лагранжа. Известно, что производная постоянной функции равна нулю. Докажем обратное утверждение.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и во всех внутренних точках этого отрезка (x) = 0, то функция f (x) постоянна на отрезке [ a, b ].

Доказательство. Пусть x – произвольная точка отрезка [ a, b ], не совпадающая с a, тогда по формуле (2.16) конечных приращений применительно к отрезку [ a, x ] имеем: f (x) – f (a) = (x ₀)(x – a), где x ₀ Î (a, x). Но (x ₀) = 0, поэтому f (x) = f (a).

Следовательно, " x Î [ a, b ]: f (x) = f (a) и f (x) – постоянна на [ a, b ].

Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) непрерывны на отрезке [ a, b ], дифференцируемы на (a, b), причем g' (x) ¹ 0 для любой точки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x ₀ отрезка [ a, b ], такая, что

= .

Доказательство. Отметим, что j (b) ¹ j (a), так как в противном случае по теореме Ролля j' (x) = 0 в некоторой точке x ₀Î(a, b).

Введем вспомогательную функцию: F (x) = f (x) – (j (x) – j (a)) и покажем, что F (x) удовлетворяет теореме Ролля. Очевидно, что F (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и F' (x) = f' (x) – , и на концах отрезка [ a, b ] имеет равные значения: F (a) = f (a), F (b) = f (a).

Следовательно, по теореме Ролля найдется точка x ₀Î(a, b) такая, что F' (x ₀) = 0:

F' (x ₀) = (x ₀) – × = 0.

Отсюда = . Теорема доказана.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши будут многократно применяться на протяжении курса математического анализа.