Формула Тейлора

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен P_n (x) степени n разложить по степеням разности (x – x ₀) (где x ₀ – некоторое число), т.е. представить P_n (x) в виде:

P_n (x) = a ₀ + a ₁(x – x ₀) + a ₂(x – x ₀)² +...+ a_n (x – x ₀) ⁿ. (2.19)

Вычислим коэффициенты: a ₀, a ₁,..., a_n. Для этого найдем сначала производные от P_n (x):

(x) = a ₁+ 2 a ₂(x – x ₀) + 3 a ₃(x – x ₀)² +... + n × a_n (x – x ₀) ^{n– 1};

(x) = 2 a ₂+ 2×3 a ₃(x – x ₀) + 3×4 a ₄(x – x ₀)² +... + (n – 1) × n × a_n (x – x ₀) ^{n– 2};

(x) = 2×3× a ₃+ 2×3×4 a ₄(x – x ₀) +... + (n – 2)(n – 1)× n × a_n (x – x ₀) ^{n– 3};

...; P_n ⁽ⁿ⁾(x) = 1×2×...× (n – 1)× n × a_n; P_n ^{(n +1)}(x) = 0. (2.20)

Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x ₀, получим:

P_n (x ₀) = a ₀, (x ₀) = a ₁, (x ₀) = 2 a ₂, (x ₀) = 2×3 a ₃,..., P_n ⁽ⁿ⁾(x ₀) = 1×2×...(n – 1)× n × a_n,

откуда находим:

a ₀= P_n (x ₀), a ₁= (x ₀), a ₂ = , a ₃ = ,..., a_n = .

Подставляя найденные значения a ₀, a ₁,..., a_n в равенство (2.19), получим разложение многочлена P_n (x) по степеням (x – x ₀):

P_n (x) = P_n (x ₀) + (x – x ₀) + (x – x ₀)² +... + (x – x ₀) ⁿ. (2.21)

Формула (2.21) называется формулой Тейлора для многочлена P_n (x) n -й степени.

Пусть функция f (x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x ₀ принадлежит этому промежутку.

Поставим задачу: найти многочлен n -й степени P_n (x), такой, чтобы значение P_n (x ₀) совпадало с f (x ₀), а значение всех производных для P_n (x) в точке x ₀ (до n -го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f (x) в точке x ₀, т.е.

P_n (x ₀) = f (x ₀), (x ₀) = (x ₀), (x ₀) = (x ₀),..., P_n ⁽ⁿ⁾(x ₀) = f ⁽ⁿ⁾(x ₀).

Тогда по формуле (3) многочлен P_n (x) имеет вид:

P_n (x) = f (x ₀) + (x – x ₀) + (x – x ₀)² +... + (x – x ₀) ⁿ. (2.22)

Естественно ожидать, что многочлен P_n (x) будет в некотором смысле «близок» к функции f (x), по крайней мере, около точки x ₀.

Обозначим: R_n (x) = f (x) – P_n (x), тогда f (x) = P_n (x) + R_n (x). Подставляя вместо P_n (x) его выражение (2.22), получим формулу:

f (x) = f (x ₀) + (x – x ₀) + (x – x ₀)² +...+ (x – x ₀) ⁿ + R_n (x), (2.23)

которая называется формулой Тейлора для функции f (x), а R_n (x) называется остаточным членом.

Если для некоторого x остаточный член R_n (x) достаточно мал, то формула (2.23) дает приближенное значение для f (x): f (x)» P_n (x), при этом погрешность этого приближения равна: R_n (x). Для оценки R_n (x) применяются специальные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид:

R_n (x) = (x – x ₀) ^{n +1}, (2.24)

где c – некоторое число, заключенное между x ₀ и x. Число c можно представить в виде:
c = x ₀ + q (x – x ₀), где q – некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0 < q < 1. Тогда формула остаточного члена примет вид:

R_n (x) = (x – x ₀) ^{n +1}, (2.25)

Другая формула для R_n (x) называется формой Коши и имеет вид:

R_n (x) = (x – x ₀) ^{n +1}×(1 – q) ⁿ, (2.26)

где q удовлетворяет неравенству 0 < q < 1.

Вообще говоря, значения q в формулах (2.25) и (2.26) различные. (Вывод этих формул см. [6, с. 186]).

Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f (x) = f (x ₀) + (c)(x – x ₀), откуда приходим к формуле Лагранжа: f (x) – f (x ₀) = (c)(x – x ₀). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (2.23) положить x ₀ = 0, то получится формула, называемая формулой Маклорена:

f (x) = f (0) + x + x ² +... + xⁿ + R_n (x), (2.27)

где R_n (x) = x^{n +1} – остаточный член в форме Лагранжа (0 < q < 1).

Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x ₀ = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).

1) f (x) = e^x

Так как (x) = e^x, (x) = e^x,..., f ⁽ⁿ⁾(x) = e^x и f (0) = 1, (0) = 1, (0) =1,...,
f ⁽ⁿ⁾(0) = 1, то по формуле (2.27) получаем:

e^x = 1 + + +... + + e^qx, 0 < q < 1. (2.28)

Если | x | £ 1, то при n = 8 получаем: R ₈ < ×3 < .

Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.

Решение. Ранее нами было введено число e как предел последовательности:
e = и установлено, что 2 < e < 3. Используя формулу (2.28), положив x = 1,
n = 8 имеем: e» 1 + 1 + + + + + + + » 2,71828, причем погрешность R ₈(1) не превосходит 0,00001.

2) f (x) = sin x

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f (x) = sin x и их значения при x = 0:

f (x) = sin x, f (0) = 0,

(x) = cos x = sin(x + ), (0) = 1,

(x) = –sin x = sin(x + 2× ), (0) = 0,

(x) = –cos x = sin(x + 3× ), (0) = –1,

f ⁽⁴⁾(x) = sin x = sin(x + 4× ), f ⁽⁴⁾(0) = 0,

f ⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + n × ), f ⁽ⁿ⁾(0) = sin .

Если n = 2 m, m Î N, то f ^{(2 m)}(0) = 0; при n = 2 m + 1: f ^{(2 m +1)}(0) = (–1) ^m, поэтому

sin x = x – + –... + (–1) ^m + (–1) ^{m +1} cos qx. (2.29)

3) Аналогично для функции f (x) = cos x можно получить следующую формулу Маклорена:

cos x = 1 – + –... + (–1) ^m + (–1) ^{m +1} cos qx. (2.30)

В последних двух разложениях |cos qx | £ 1 и потому R_n (x) по абсолютной величине не превосходит (в формуле (2.29)) или (в формуле (2.30)).

Пример 2. Вычислить приближенно sin20⁰ с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся формулой (2.29), положив x = 20⁰ = радиан и взяв 2 члена разложения: sin » – × = 0,3420, | R_n | £ × £ 0,0001.

Задания для самостоятельной работы.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cos x (формулу (2.30)).

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x).

Вычислить приближенно cos40⁰ и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).

В следующих разделах мы будем изучать с помощью производных поведение функций. В разд. 2.9 (следствие из теоремы Лагранжа) мы говорили о том, что если производная (x) = 0 на некотором интервале, то функция f (x) постоянна на этом интервале. Теперь будем изучать другие свойства функции.