Правило Лопиталя

В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа и . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления таких пределов, так называемое правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f (x), g (x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, причем g' (x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности, и пусть f (x ₀) = 0, g (x ₀) = 0 (следовательно, f (x), g (x) – бесконечно малые при ). Если существует, то существует и

= . (2.18)

Доказательство. Равенство (2.18) называют правилом Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа .

Дадим значению аргумента x ₀ приращение Dx, такое, чтобы точка x = x ₀ + Dx принадлежала рассматриваемой окрестности точки x ₀.

Случай 1. Dx > 0, тогда x > x ₀. Функции f (x), g (x), рассматриваемые на отрезке [ x ₀, x ], удовлетворяют теореме Коши, поэтому найдется такое c Î (x ₀, x), что выполняется равенство: = . Так как f (x ₀) = g (x ₀) = 0, то получим: = . Заметим, что число c зависит от x, но если , то , так как x ₀ < c < x. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем:

= = = .

Случай 2. Dx < 0, тогда x < x ₀. Функции f (x), g (x), рассматриваемые на отрезке
[ x, x ₀], удовлетворяют условиям теоремы Коши, и потому доказательство аналогично, как в случае 1. Итак, теорема Лопиталя доказана.

Пример 1. Найти .

Решение. Поскольку функции f (x) =1 – cos3 x, g (x) = 2 x удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то = = = 0.

Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции f (x), g (x) не определены в точке x ₀, но f (x) = 0 и g (x) = 0. В самом деле, если доопределить f (x), g (x), положив f (x ₀) = g (x ₀) = 0, тогда f (x), g (x) будут непрерывны в точке x ₀, а потому теорема Лопиталя будет применима к ним.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда

f (x) = 0, g (x) = 0.

Действительно, введя новую переменную y = , видим, что y ® 0 при x ® ¥. Тогда = = = .

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f (x), g (x) дифференцируемы в окрестности точке x ₀, за исключением самой точки x ₀, причем g' (x) ¹ 0, и пусть f (x) = ¥, g (x) = ¥. Если существует , то существует и = .

Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно найти в учебниках.

Отметим, что эта теорема верна для случая, когда x ®¥, в этом можно убедиться, повторяя рассуждения замечания 2.

Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Например, = 1, а = (1 + cos x) – не существует, так как cos x не существует.

Замечание 4. Если при x ® x ₀ (x ® ¥) является неопределенностью типа или , и (x), g' (x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

= = .

Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа или иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.

Пример 2. Найти .

Решение. При x ® 0 и x > 0 ln x = ¥, ctg x = ¥, следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших при x ® 0 и неопределенность типа . Вычислим:

= = – = – = 0.

Замечание 5. Теорема Лопиталя остается верной и тогда, когда = ¥.

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность типа . Применяя теорему Лопиталя два раза, получим: = = = ¥.

Можно показать, что для любого n Î N = ¥. Это означает, что показательная функция e^x растет быстрее любой степенной функции xⁿ.

Рассмотрим неопределенности других видов.

Если a (x) = 0, F (x) = ¥, то a (x)× F (x) называют неопределенностью типа 0×¥, а [ F (x)] ^{a (x)} – неопределенностью типа ¥⁰.

Если F ₁(x) = +¥, F ₂(x) = +¥, то (F ₁(x) – F ₂(x)) – неопределенность типа ¥ – ¥.

Аналогично понимаются и другие неопределенности. При раскрытии таких неопределенностей зачастую помогает способ сведения их к неопределенностям типа или с последующим применением правила Лопиталя.

Пример 4. Найти x ²ln x.

Решение. Так как ln x = ¥, то имеем неопределенность типа 0×¥. Преобразуем ее к виду : x ²ln x = , затем применим правило Лопиталя,

= = = = 0. Итак, x ²ln x = 0.