Возрастание и убывание функций

Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции)

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b), причем (x) > 0 для любого x Î(a, b), то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ].

Доказательство. Функция возрастает на [ a, b ], если

" x ₁, x ₂Î[ a,b ] (x ₁ < x ₂ ®  f (x ₁) < f (x ₂)).

Пусть x ₁, x ₂ – любые два числа из [ a, b ], такие, что x ₁ < x ₂. Докажем, что
f (x ₁) < f (x ₂).

По теореме Лагранжа о конечных приращениях f (x ₂) – f (x ₁) = (с)(x ₂ – x ₁), где c удовлетворяет неравенству x ₁ < c < x ₂. По условию теоремы (с) > 0, следовательно, f (x ₂) – f (x ₁) > 0, т.е. f (x ₁) < f (x ₂). Теорема доказана.

Теорема 2. (Необходимое условие возрастания функции)

Если функция f (x) непрерывна и возрастает на отрезке [ a, b ], дифференцируема на интервале (a, b), то (x) ³ 0 для любого x из интервала (a, b).

Доказательство. Пусть x ₀Î(a, b). Дадим аргументу приращение Dx, тогда функция получит приращение f (x ₀ + Dx) – f (x ₀). Функция f (x) возрастает на [ a, b ], поэтому, если Dx > 0, то f (x ₀ + Dx) – f (x ₀) > 0, а если Dx < 0, то f (x ₀ + Dx) – f (x ₀) < 0. В обоих случаях > 0, а потому ³ 0, т.е. (x ₀) ³ 0. Теорема доказана.

Аналогичные теоремы справедливы для убывающей функции, только условие
(x) > 0 заменяется на условие: (x) < 0.

Сформулируйте и докажите достаточное условие и необходимое условие для убывания функции.

Пример. Исследовать на монотонность (т.е. возрастание и убывание) функцию:

f (x) = x ³ – 3 x.

Решение. (x) = 3 x ² – 3 = 3(x ² – 1).

Неравенство (x) > 0, т.е. 3(x ² – 1) > 0, справедливо для x < –1 и для x >1. Следовательно, функция f (x) возрастает на интервалах (–¥, –1) и (1, +¥). Поскольку неравенство (x) < 0, т.е. 3(x ² – 1) < 0 справедливо для x Î(–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция f (x) убывает.

Построим график функции y = x ³ – 3 x (рис. 2.10), используя ее значения в точках:

x ₁ = –1, x ₂ = 1, x ₃ = 0, x ₄ = – , x ₅ = :

f (–1) = 2, f (1) = –2, f (0) = 0, f (– ) = 0, f () = 0.

Заметим, что в точке x ₁ = –1 значение f (–1) больше, чем значение f (x) в соседних с x ₁ точках. Говорят, что в точке x ₁ функция имеет максимум (локальный максимум). Аналогично, f (x ₂) < f (x) для x, близких к x ₂. В этом случае говорят, что в точках x ₂ функция имеет минимум (локальный минимум).