Решение. 1) Dy = (x + Dx)2 – x2 = x2 + 2xDx + (Dx)2 – x2 = 2xDx + (Dx)2, dy = 2xDx

1) Dy = (x + Dx)² – x ² = x ² + 2 xDx + (Dx)² – x ² = 2 xDx + (Dx)², dy = 2 xDx.

2) Если x ₀ = 20, Dx = 0,1, то Dy = 40×0,1 + (0,1)² = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

Dy = dy + a × Dx. (2.9)

Приращение Dy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Dx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Dy» dy, если Dx достаточно мало.

Учитывая, что Dy = f (x ₀ + Dx) – f (x ₀), получаем приближенную формулу:

f (x ₀ + Dx)» f (x ₀) + dy. (2.10)

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим: f (x) = ; x ₀ = 4, Dx = 0,1; тогда = f (x ₀ + Dx). Используя формулу (2.10), получим:

= f (x ₀ + Dx)» f (x ₀) + dy, f (x ₀) = =2, dy = f' (x ₀)× Dx = ×0,1 = = 0,025.

Значит, » 2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df (x ₀) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f (x) касательную в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)), пусть j – угол между касательной KM ₀ и осью Ox, тогда f' (x ₀) = tg j. Из D M ₀ NP:
PN = tg j × Dx = f' (x ₀)× Dx = df (x ₀). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x ₀ до x ₀ + Dx.

Следовательно, дифференциал функции f (x) в точке x ₀ равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции
y = x. Так как (x) ' = 1, то dx = 1× Dx = Dx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = Dx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df (x) = (x) dx, откуда (x) = или (x) = .

Таким образом, производная для функции y = f (x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u (x), v (x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

d (u + v) = du + dv; (2.11)

d (u × v) = u × dv + v × du; (2.12)

d = , (v ¹ 0). (2.13)

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d (u × v) = (u × v) 'Dx = (u × v' + u' × v) Dx = u × v'Dx + u'Dx × v = u × dv + v × du.

Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f (x), x = j (t), т.е. y = f (j (t)).

Тогда dy = dt, но = , поэтому dy = dt. Учитывая,
что = dx, получаем dy = dx = (x) dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f (x), где x = j (t), имеет вид dy = (x) dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.