Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Производные и дифференциалы высших порядков



Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается: y'' или (x).

Итак, (x) = ( (x)) '.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной
(n – 1)-го порядка и обозначается: y (n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n -1)(x)) '.

Производные y'', y''',... называются производными высших порядков.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение. = = , (x) = – , (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n -го порядка для функции y = e 3 x .

Решение. y' = 3 e 3 x , y'' = 3× 3 e 3 x = 32 e 3 x , y''' = 33 e 3 x .

По аналогии находим: y (n) = 3 ne 3 x .

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой
S = f (t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение

DV = V (t + Dt) – V (t).

Отношение называется средним ускорением за время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:

a = , т.е. a = V' (t) = (S (t)) ' = S'' (t).

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S'' (t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f (x), x Î X. Дифференциал этой функции y = f' (x) dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d 2 y или d 2 f (x).

Итак, d 2 y = d (dy), но dy= dx, поэтому

d 2 y = d ( dx) = ( dx) dx = (dx)2.

Будем вместо (dx)2 писать dx 2.

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d 3 y или d 3 f (x):

d 3 y = d (d 2 y) = d ( dx 2) = dx 3 и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n – 1)-го порядка dny = d (dn – 1 y) = d (f (n – 1)(x) dxn – 1) = f (n)(x) dxn.

Итак, dny = f (n)(x) dxn. Отсюда f (n)(x) = .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо будем писать: , вместо пишем: .

Пример 3. Найти d 3 y для функции y = cos2 x.

Решение. d 3 y = y'''dx 3. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':

y' = (cos2 x) ' = –2cos x sin x = –sin2 x, y'' = (–sin2 x) ' = –2cos2 x, y''' = 4sin2 x.

Следовательно, d 3 y = 4sin2 xdx 3.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями

, t Î T

(T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что = = (разд.2.6), поэтому

= = = = .

Аналогично будут вычисляться и т.д.

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

, 0£ t £ p.

Найти .

Решение. = = = = –tg t;

= = = - = .

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением:
ey + xy = e. Вычислить y' (0), y'' (0).

Решение. Найдем сначала y', как описано в в разд. 2.5:

(ey + xy) ' = (e) ', ey × y' + y + xy' = 0, y' (ey + x) = – y, y' = – .

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство ey × y' + y + xy' = 0, получим:

ey ×(y')2 + ey × y'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y': y'' (ey + x) = – ey ×(y')2 – 2 y',

y'' = – = = =

= .

Итак, y' = – , y'' = . Подставим x = 0 в исходное уравнение ey + xy = e, получим: ey + 0× y = e, откуда y = 1, значит,

y (0) = 1; y' (0) = – ; y'' (0) = = .





Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 2305 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...