Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается: y'' или (x).

Итак, (x) = ( (x)) '.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной
(n – 1)-го порядка и обозначается: y ⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак, f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^{(n -1)}(x)) '.

Производные y'', y''',... называются производными высших порядков.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение. = = , (x) = – , (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n -го порядка для функции y = e ^{3 x} .

Решение. y' = 3 e ^{3 x} , y'' = 3× 3 e ^{3 x} = 3² e ^{3 x} , y''' = 3³ e ^{3 x} .

По аналогии находим: y ⁽ⁿ⁾ = 3 ⁿe ^{3 x} .

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой
S = f (t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение

DV = V (t + Dt) – V (t).

Отношение называется средним ускорением за время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:

a = , т.е. a = V' (t) = (S (t)) ' = S'' (t).

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S'' (t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f (x), x Î X. Дифференциал этой функции y = f' (x) dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d ² y или d ² f (x).

Итак, d ² y = d (dy), но dy= dx, поэтому

d ² y = d ( dx) = ( dx) dx = (dx)².

Будем вместо (dx)² писать dx ².

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d ³ y или d ³ f (x):

d ³ y = d (d ² y) = d ( dx ²) = dx ³ и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n – 1)-го порядка dⁿy = d (d^{n – 1} y) = d (f ^{(n – 1)}(x) dx^{n – 1}) = f ⁽ⁿ⁾(x) dxⁿ.

Итак, dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x) dxⁿ. Отсюда f ⁽ⁿ⁾(x) = .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо будем писать: , вместо пишем: .

Пример 3. Найти d ³ y для функции y = cos² x.

Решение. d ³ y = y'''dx ³. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':

y' = (cos² x) ' = –2cos x sin x = –sin2 x, y'' = (–sin2 x) ' = –2cos2 x, y''' = 4sin2 x.

Следовательно, d ³ y = 4sin2 xdx ³.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями

, t Î T

(T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что = = (разд.2.6), поэтому

= = = = .

Аналогично будут вычисляться и т.д.

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

, 0£ t £ p.

Найти .

Решение. = = = = –tg t;

= = = - = .

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением:
e^y + xy = e. Вычислить y' (0), y'' (0).

Решение. Найдем сначала y', как описано в в разд. 2.5:

(e^y + xy) ' = (e) ', e^y × y' + y + xy' = 0, y' (e^y + x) = – y, y' = – .

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство e^y × y' + y + xy' = 0, получим:

e^y ×(y')² + e^y × y'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y': y'' (e^y + x) = – e^y ×(y')² – 2 y',

y'' = – = = =

= .

Итак, y' = – , y'' = . Подставим x = 0 в исходное уравнение e^y + xy = e, получим: e^y + 0× y = e, откуда y = 1, значит,

y (0) = 1; y' (0) = – ; y'' (0) = = .