![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если
(x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается: y'' или
(x).
Итак, (x) = (
(x)) '.
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).
Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной
(n – 1)-го порядка и обозначается: y (n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n -1)(x)) '.
Производные y'', y''',... называются производными высших порядков.
Пример 1. f (x) = . Найти
(x) и
(4).
Решение. =
=
,
(x) = –
,
(x) =
=
,
(4) =
=
=
.
Пример 2. Найти производную n -го порядка для функции y = e 3 x .
Решение. y' = 3 e 3 x , y'' = 3× 3 e 3 x = 32 e 3 x , y''' = 33 e 3 x .
По аналогии находим: y (n) = 3 ne 3 x .
Рассмотрим механический смысл второй производной.
Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой
S = f (t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение
DV = V (t + Dt) – V (t).
Отношение называется средним ускорением за время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:
a =
, т.е. a = V' (t) = (S (t)) ' = S'' (t).
Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S'' (t).
Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.
Пусть y = f (x), x Î X. Дифференциал этой функции y = f' (x) dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.
Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d 2 y или d 2 f (x).
Итак, d 2 y = d (dy), но dy= dx, поэтому
d 2 y = d ( dx) = (
dx) dx =
(dx)2.
Будем вместо (dx)2 писать dx 2.
Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d 3 y или d 3 f (x):
d 3 y = d (d 2 y) = d ( dx 2) =
dx 3 и т.д.
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n – 1)-го порядка dny = d (dn – 1 y) = d (f (n – 1)(x) dxn – 1) = f (n)(x) dxn.
Итак, dny = f (n)(x) dxn. Отсюда f (n)(x) = .
Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо будем писать:
, вместо
пишем:
.
Пример 3. Найти d 3 y для функции y = cos2 x.
Решение. d 3 y = y'''dx 3. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':
y' = (cos2 x) ' = –2cos x sin x = –sin2 x, y'' = (–sin2 x) ' = –2cos2 x, y''' = 4sin2 x.
Следовательно, d 3 y = 4sin2 xdx 3.
Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.
Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями
, t Î T
(T – некоторый промежуток).
Найдем . Известно, что
=
=
(разд.2.6), поэтому
=
=
=
=
.
Аналогично будут вычисляться и т.д.
Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:
, 0£ t £ p.
Найти .
Решение. =
=
=
= –tg t;
=
=
= -
=
.
Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.
Пример 5. Найти ,
для функции, заданной неявно уравнением:
ey + xy = e. Вычислить y' (0), y'' (0).
Решение. Найдем сначала y', как описано в в разд. 2.5:
(ey + xy) ' = (e) ', ey × y' + y + xy' = 0, y' (ey + x) = – y, y' = – .
Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство ey × y' + y + xy' = 0, получим:
ey ×(y')2 + ey × y'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y': y'' (ey + x) = – ey ×(y')2 – 2 y',
y'' = – =
=
=
= .
Итак, y' = – , y'' =
. Подставим x = 0 в исходное уравнение ey + xy = e, получим: ey + 0× y = e, откуда y = 1, значит,
y (0) = 1; y' (0) = – ; y'' (0) =
=
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 2305 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!