Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1. Если x Î[–1, 1], y Î[– p/ 2, p /2], то функции y = arcsin x, x = sin y являются взаимно обратными, причем = (sin y) ' = cos y. Если – p /2 < y < p / 2 (при этом –1 < x < 1), то
cos y > 0, поэтому .

По теореме 5 (разд. 2.3) имеем: тогда

(–1 < x < 1).

2. Функции y = arccos x, x = cos y взаимно обратны, если x Î[–1, 1], y Î[0, p ],
= (cos y) ' = –sin y. Если 0 < y < p (при этом –1 < x < 1), то sin y > 0, поэтому

.

Так как то

(–1 < x < 1).

3. Функции y = arctg x, x = tg y взаимно обратны, если y Î(– p /2, p / 2), a x Î R. Используя равенство , получаем:

x Î R.

4. Для y Î (0, p) функции y = arсctg x, x = сtg y взаимно обратны,
= –(1 + ctg² y) = –(1 + x ²), поэтому

x Î R.

Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.

Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:

гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

гиперболический котангенс .

Для гиперболических функций справедливы тождества:

ch² x – sh² x =1. (Проверьте это!).

Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что
(e^–x) ' = e^–x ×(–1) = – e^–x (как производная сложной функции):

Итак, (sh x) ' = ch x.

Аналогично доказывается, что (ch x) ' = sh x.

Так как ch² x – sh² x =1, то получаем:

Аналогично можно показать, что