Производные некоторых элементарных функций

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x ₀Î X и f (x) дифференцируема в точке x ₀, т.е. производная существует.

Для одной и той же функции f (x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет функцией от x, ее называют производной функцией от функции f (x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f (x).

Итак, производная функция от функции f (x) по определению:

Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.

1. f (x) = с – постоянное число.

Итак, (c) ' = 0.

2. f (x) = x:

Получили: (x) ' = 1.

3.
:

.

Таким образом, .

4. :

.

5. f(x) = sinx:

Значит, (sin x) ' = cos x

6. Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.

Для дальнейшего изложения вычислим два вспомогательных предела, а именно:

,

используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций log _ax и a^x.

Первый предел:

Таким образом, .

Для вычисления второго предела введем новую переменную: z = a^y – 1, тогда
a^y = z + 1, откуда y = log _a (z + 1). Если y ® 0, то z ® 0, следовательно,

, т.е. .

7. :

.

Значит, В частности, .

8. Убедимся, что (a^x) ' = a^x ln a:

При a = e, получаем: (e^x) ' = e^x.

Производные для других элементарных функций мы вычислим в следующих разделах.