![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x 0Î X и f (x) дифференцируема в точке x 0, т.е. производная существует.
Для одной и той же функции f (x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет функцией от x, ее называют производной функцией от функции f (x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f (x).
Итак, производная функция от функции f (x) по определению:
Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.
1. f (x) = с – постоянное число.
Итак, (c) ' = 0.
2. f (x) = x:
Получили: (x) ' = 1.
3.
:
.
Таким образом, .
4. :
.
5. f(x) = sinx:
Значит, (sin x) ' = cos x
6. Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.
Для дальнейшего изложения вычислим два вспомогательных предела, а именно:
,
используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций log ax и ax.
Первый предел:
Таким образом, .
Для вычисления второго предела введем новую переменную: z = ay – 1, тогда
ay = z + 1, откуда y = log a (z + 1). Если y ® 0, то z ® 0, следовательно,
, т.е.
.
7. :
.
Значит, В частности,
.
8. Убедимся, что (ax) ' = ax ln a:
При a = e, получаем: (ex) ' = ex.
Производные для других элементарных функций мы вычислим в следующих разделах.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 308 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!