Понятие производной, ее геометрический и механический смысл

Пусть функция y = f (x) определена в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x ₀ обозначим через Dx и назовем приращением аргумента, а разность f (x) – f (x ₀) обозначим через Dy и назовем приращением функции.

Итак, Dx = x – x ₀, Dy = f (x) – f (x ₀). Из равенства Dx = x – x ₀ получаем равенство
x = x ₀ + Dx, тогда Dy = f (x ₀ + Dx) – f (x ₀).

Производной функции f (x) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x ₀).

Итак,

.

Пример 1. Найти производную для функции f (x) = x ² в точке x ₀ = 3.