Решение. Если (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема

Если (x ₀) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x ₀. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x ₀ и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x ₀, если она определена в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

. (*)

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x ₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема в точке x ₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f' (x ₀) существует, т.е. есть некоторое число. Покажем, что выполняется равенство (*):

Итак, доказано, что f (x) непрерывна в точке x ₀.

Замечание. Если в точке x ₀ функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f (x) = | x | непрерывна в точке x ₀ = 0, так как .

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x ₀:

не существует, т.е. f (x) не дифференцируема в точке x ₀ = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M ₀ на графике имеет координаты x ₀, f (x ₀), другая точка графика M – координаты x ₀ + Dx, f (x ₀ + Dx). Прямая M ₀ M является секущей для линии y = f (x), она наклонена к оси Ox под углом b. Пусть (x ₀) существует, т.е. есть некоторое число. Из DM ₀ MА получаем: (известно, что tg b – угловой коэффициент прямой M ₀ M). Если Dx ® 0, то точка M движется по графику функции y = f (x), приближаясь к точке M ₀, при этом секущая M ₀ M, поворачиваясь вокруг точки M ₀, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M ₀ K, при этом (a – угол между касательной M ₀ K и осью Ox), tg b ® tg a.

Таким образом, но tg a = k есть угловой коэффициент касательной M ₀ K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x ₀ равен производной функции f (x) в точке x ₀: (x ₀) = k = tg a.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M ₀ K имеет вид: y – f (x ₀) = (x ₀)(x – x ₀).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f (t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t ₀ точка находилась в положении M ₀ (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t ₀. Рассмотрим другой момент времени
t ₀ + Dt. За время t ₀ пройденный точкой путь равен: S ₀ = f (t ₀), за (t ₀ + Dt) пройдено расстояние S = f (t ₀ + Dt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Dt пройден путь M ₀ M и он равен:

S – S ₀ = f (t ₀ + Dt) – f (t ₀) = DS.

Средняя скорость V _ср за пpомежуток времени Dt равна: Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Dt. Скоростью в момент времени t ₀ (обозначим V (t ₀)) называется предел средней скорости V _ср при Dt ® 0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f (t) в момент времени t ₀ есть скорость в момент времени t ₀.