Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение. Если функция f (x) определена на отрезке [ a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ].

Другими словами, функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], если выполнены три условия:

1) " x ₀Î(a, b): f (x) = f (x ₀);

2) f (x) = f (a);

3) f (x) = f (b).

Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [ a, b ] найдется такая точка x ₁, что f (x ₁) £ f (x) для любых x из [ a, b ] и что найдется точка x ₂ (x ₂Î[ a, b ]) такая, что
" x Î[ a, b ] (f (x ₂) ³ f (x)).

Значение f (x ₁) является наибольшим для данной функции на [ a, b ], а f (x ₂) – наименьшим. Обозначим: f (x ₁) = M, f (x ₂) = m. Так как для f (x) выполняется неравенство: " x Î[ a, b ] m £ f (x) £ M, то получаем следующее следствие из теоремы 1.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x ₀ отрезка
[ a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $ x ₀ Î (a, b) (f (x ₀) = 0).

Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x), непрерывной на отрезке
[ a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a) и f (b) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a) > 0, f (b) < 0 и функция f (x) обращается в 0 в точках x ₁, x ₂, x ₃.

Теорема 3. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], f (a) = A, f (b) = B и
A ¹ B. (рис. 1.17). Тогда для любого числа C, заключенного между числами A и B, найдется такая внутренняя точка x ₀ отрезка [ a, b ], что f (x ₀) = C.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], m – наименьшее значение f (x), M – наибольшее значение функции f (x) на отрезке [ a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m, заключенное между m и M, а потому отрезок [ m, M ] является множеством всех значений функции f (x) на отрезке [ a, b ].

Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b) или имеет на отрезке
[ a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.

В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции. Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.

Теорема 4. Пусть f (x) непрерывна на промежутке X, возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y. Тогда для функции y = f (x) существует обратная функция x = j (y), определенная на промежутке Y, непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X.

Замечание. Пусть функция x = j (y) является обратной для функции f (x). Так как обычно аргумент обозначают через x, а функцию через y, то запишем обратную функцию в виде y = j (x).

Пример 1. Функция y = x ² (рис. 1.8, а) на множестве X = [0, +¥) непрерывна, возрастает и имеет множеством значений Y = [0, +¥). Функция y = x ² имеет обратную функцию x = (рис. 1.8, б), а после переобозначения переменных y = , определенную, непрерывную и возрастающую на X.

Пример 2. Функция y = sin x (рис. 1.19, а) непрерывна, возрастает на отрезке
[– , ] и имеет множеством значений отрезок [–1, 1], поэтому она имеет обратную функцию y = arcsin x (рис. 1.19, б), определенную, непрерывную и возрастающую на отрезке [–1, 1] и имеющую множество значений [– , ].

Заметим, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Предлагаем построить графики взаимно обратных функций:

1) y = cos x, y = arccos x;

2) y = tg x, y = arctg x;

3) y = ctg x, y = arcctg x;

4) y = e^x, y = ln x.

Введение............................................................................................................................................................................. 3

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ................................................................................... 4

1.1. Логическая и математическая символика....................................................................................................................... 4

1.2. Множества....................................................................................................................................................................... 5

1.3. Функции.......................................................................................................................................................................... 7

1.4. Пределы функции на бесконечности.............................................................................................................................. 8

1.5. Предел функции в точке............................................................................................................................................... 11

1.6. Бесконечно-малые функции и их свойства................................................................................................................... 14

1.7. Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями............................................. 17

1.8. Основные теоремы о пределах..................................................................................................................................... 18

1.9. Первый замечательный предел..................................................................................................................................... 21

1.10. Второй замечательный предел.................................................................................................................................... 22

1.11. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.............................................. 24

1.12. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва....................................................................................................... 26

1.13. Свойства функций, непрерывных на отрезке.............................................................................................................. 29