Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке x ₀ и некоторой ее окрестности. Если существует и , то функция f (x) называется непрерывной в точке x ₀, а x ₀ называется точкой непрерывности функции f (x).

На языке логики равенство описывается формулой:

" e >0 $ d >0 " x Î(x ₀ – d, x ₀ + d) | f (x) – f (x ₀)| < e.

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x ₀, если она определена в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, если существуют f (x), f (x) и

f (x) = f (x)= f (x ₀).

Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x ₀ справа или слева. Пусть функция определена в точке x ₀ и некоторой ее левой полуокрестности.

Если f (x) = f (x ₀), то говорят, что f (x) непрерывна в точке x ₀ слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f (x) = x ³ определена на R.

Покажем, что f (x) непрерывна в точке x ₀ = 2.

Действительно, f (2) = 2³ = 8, f (x) = x ³ = 8, f (x) = f (2), значит, f (x) = x ³ непрерывна в точке x ₀ = 2.

Пример 2. f (x) = .

Покажем, что f (x) непрерывна в точке x ₀ = 0:

f (0) = 0, f (x) = 2 x = 0, f (x) = sin x = 0.

Так как f (x) = f (x) = f (0), то непрерывность функции f (x) в точке x ₀ = 0 доказана.

Дадим определение точек разрыва.

Пусть f (x) определена в окрестности точки x ₀, но может быть не определена в x ₀.

Точка x ₀ называется точкой разрыва для функции f (x), если в точке x ₀ функция f (x) не определена, или f (x) не существует, или f (x) ¹ f (x ₀).

Пример 3. Функция f (x) = не определена в точке x ₀ = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x ₀ = 0 является точкой разрыва для f (x).

Пример 4. Функция f (x) = не определена в точке x ₀ = 3, x ₀ = 3 – точка разрыва для f (x).

Пример 5. Пусть E (x) = «целая часть числа x», т.е. E (x) равно наибольшему целому числу, не превосходящему x ₀. Так E = 1, E (5) = 5, E (p) = 3, E (0) = 0,
E (–0,5) = –1 и т.д. График y = E (x) представлен на рис. 1.14. Для x ₀ = 2: E (2) = 2, E (x) = 1, E (x) = 2.

Так как E (x) ¹ E (x), то E (x) в точке x ₀ = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.

Точка разрыва x ₀ для функции f (x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы: f (x) и f (x). В противном случае x ₀ – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x ₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, так как существуют пределы E (x) и E (x). В примере 4 x ₀ = 3 – точка разрыва второго рода, так как = –¥, = +¥.

Точка x ₀ разрыва первого рода, для которой f (x) = f (x), называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x ₀ в примере 3. Если рассмотреть функцию j (x) = , то j (x) непрерывна в точке x ₀ = 0, так как
j (x) = = = 1 и j (0) = 1. Доопределив функцию в точке x ₀ = 0, мы устранили разрыв.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f ₁(x) и f ₂(x) непрерывны в точке x ₀, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x ₀. Если, кроме того, f ₂(x ₀) ¹ 0, то частное также непрерывно в точке x ₀.

Доказательство. Доказательство основано на свойствах пределов. Докажем, например, что сумма непрерывных функций непрерывна. Функции f ₁(x), f ₂(x) непрерывны в точке x ₀, поэтому f ₁(x) = f ₁(x ₀), f ₂(x) = f ₂(x ₀). Применяя теорему о пределе суммы двух функций, получим:

(f ₁(x) + f ₂(x)) = f ₁(x) + f ₂(x) = f ₁(x ₀) + f ₂(x ₀),

что означает непрерывность f ₁(x) + f ₂(x) в точке x ₀. Аналогично для других утверждений теоремы. Заметим, что формулу f (x) = f (x ₀) (определяющую непрерывность функции f (x) в точке x ₀) можно записать в виде: f (x) = f ( x), так как x = x ₀. Эта формула означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Теорема 2. Если функция u = j (x) непрерывна в точке x ₀, а функция y = f (u) непрерывна в точке u ₀ = j (x ₀), то сложная функция y = f (j (x)) непрерывна в точке x ₀.

Доказательство. Покажем, что f (j (x)) = f (j (x ₀)). Действительно, из непрерывности функции j (x) имеем: j (x) = j (x ₀) = u ₀, т.е. при x ® x ₀ следует, что u ® u ₀. Далее, из непрерывности функции f (u) получаем:

f (j (x)) = f (u) = f (u ₀) = f (j (x ₀)).

Теорема доказана.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x ₀Î R, так как C = C.

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x ₀, так как x = x ₀. Тогда функция
y = Cxⁿ, где n Î N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3. Любой многочлен: y = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² +...+ a_nxⁿ, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q (x) не обращается в 0.

5. Функция y = sin x, y = cos x непрерывны в точке x ₀ = 0, так как

sin x = 0, sin0 = 0, cos x = 1, cos0 = 1, т.е. sin x = sin0 и cos x = cos0

(Это было доказано в разд. 1.9).

Сформулируем без доказательств следующую теорему.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f (x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f (x) непрерывна на интервале (a, b).

Пример 6. Функция f (x) = непрерывна на интервалах (–¥, 3) и (3, +¥), так как при x ₀ ¹ 3: f (x) = = f (x ₀).