Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Пусть a (x) и b (x) – б.м. функции при x ® a (x ® + ¥, x ® –¥, x ® x ₀,...). Рассмотрим предел их отношения при x ® a.

1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a (x), b (x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a.

2. Если = 0, то a (x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем b (x) при x ® a. Очевидно, в этом случае = ¥.

3. Если a (x) – б.м. высшего порядка, чем b (x), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N), то a (x) называют бесконечно малой k -го порядка, по сравнению с b (x) при x ® a.

4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a (x), b (x) называют несравнимыми б.м. при x ® a.

5. Если = 1, то a (x), b (x) называются эквивалентными б.м. при x ® a, что обозначается так: a (x) ~ b (x) при x ® a.

Пример 1. a (x) = (1 – x)³, b (x) = 1 – x ³.

Очевидно, что при x ® 1 функции a (x), b (x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:

=

Вывод: a (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с b (x) при x ® 1.

Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что a (x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b (x) при x ® 1.

Пример 2. Функции a ₁(x) = 4 x, a ₂ (x) = x ², a ₃(x) = sin x, a ₄(x) = tg x являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:

= 0, , = 1, = ¥.

Отсюда заключаем, что a ₂(x) = x ² – б.м. высшего порядка, по сравнению с a ₁(x) и a ₃(x) (при x ® 0), a ₁(x) и a ₃(x) – б.м. одного порядка, a ₃(x) и a ₄(x) – эквивалентные б.м., т.е. sin x ~ tg x при x ® 0.

Теорема 1. Пусть a (x) ~ a ₁(x), b (x) ~ b ₁(x) при x ® a. Если существует , то существует и , и = .

Доказательство. = 1, = 1,

= = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4 x ~ 4 x, tg3 x ~ 3 x при x ® 0, поэтому

= = .

Теорема 2. Бесконечно малые функции a (x) и b (x) эквивалентны (при x ® a) тогда и только тогда, когда a (x) – b (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x) и b (x) (при x ® a).