![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть a (x) и b (x) – б.м. функции при x ® a (x ® + ¥, x ® –¥, x ® x 0,...). Рассмотрим предел их отношения при x ® a.
1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a (x), b (x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a.
2. Если = 0, то a (x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем b (x) при x ® a. Очевидно, в этом случае
= ¥.
3. Если a (x) – б.м. высшего порядка, чем b (x), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N), то a (x) называют бесконечно малой k -го порядка, по сравнению с b (x) при x ® a.
4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a (x), b (x) называют несравнимыми б.м. при x ® a.
5. Если = 1, то a (x), b (x) называются эквивалентными б.м. при x ® a, что обозначается так: a (x) ~ b (x) при x ® a.
Пример 1. a (x) = (1 – x)3, b (x) = 1 – x 3.
Очевидно, что при x ® 1 функции a (x), b (x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:
=
Вывод: a (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с b (x) при x ® 1.
Нетрудно убедиться, что =
(убедитесь!), откуда следует, что a (x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b (x) при x ® 1.
Пример 2. Функции a 1(x) = 4 x, a 2 (x) = x 2, a 3(x) = sin x, a 4(x) = tg x являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:
= 0,
,
= 1,
= ¥.
Отсюда заключаем, что a 2(x) = x 2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с a 1(x) и a 3(x) (при x ® 0), a 1(x) и a 3(x) – б.м. одного порядка, a 3(x) и a 4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sin x ~ tg x при x ® 0.
Теорема 1. Пусть a (x) ~ a 1(x), b (x) ~ b 1(x) при x ® a. Если существует , то существует и
, и
=
.
Доказательство. = 1,
= 1,
=
=
.
Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.
Пример 3. Найти .
В силу первого замечательного предела sin4 x ~ 4 x, tg3 x ~ 3 x при x ® 0, поэтому
=
=
.
Теорема 2. Бесконечно малые функции a (x) и b (x) эквивалентны (при x ® a) тогда и только тогда, когда a (x) – b (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x) и b (x) (при x ® a).
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 397 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!