Задание 44. Задачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений – 1 ч

Цель: усвоение основных понятий теории дифференциальных уравнений, расширение представлений студентов о прикладных задачах, решаемых с помощью дифференциальных уравнений.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 44.1.Выучите теоретический материал по теме и ответьте на контрольные вопросы:

1. Что называют дифференциальным уравнением?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Что называют решением дифференциального уравнения?

4. Какова геометрическая интерпретация множества решений дифференциального уравнения?

5. Какая задача в теории дифференциальных уравнений получила название задачи Коши?

6. Что называют начальным условием в задаче Коши?

7. Каков геометрический смысл задачи Коши?

?44.2.Подберите литературу и оформите письменный доклад или создайте электронную презентацию на тему «Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям».

Методические указания по выполнению работы:

Напомним, что уравнения, содержащие производные или дифференциал искомой функции называют дифференциальными уравнениями.

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называют порядком дифференциального уравнения.

Так, , , - дифференциальные уравнения первого порядка, - дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Так функция - решение дифференциального уравнения .

Любое дифференциальное уравнение имеет не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга на константу С. Такое множество решений получило название общего решения дифференциального уравнения. Геометрически его можно изобразить в виде семейства интегральных кривых.

При решении задач часто необходимо из всей совокупности решений дифференциального уравнения выделить одно, отвечающее конкретным требованиям. Для этого задают начальные условия: при . Геометрически это означает, что нужно выделить отдельную интегральную кривую, проходящую через точку .

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию , называется задачей Коши, а полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения получили широкое распространение в практике решения прикладных задач.

Используя указанную литературу, подберите прикладную задачу, при решении которой необходимо составить дифференциальное уравнение. Обратите внимание, что формулировка и подход к составлению дифференциального уравнения не должны быть громоздкими и затруднительными.

Оформите материал в виде доклада или презентации. Рекомендуем воспользоваться памятками 4 «Как подготовить доклад» и 5 «Как создать презентацию».

Целесообразна следующая структура доклада или презентации:

1. Формулировка прикладной задачи.

2. Решение задачи по составлению дифференциального уравнения (в презентации - на нескольких слайдах).

3. Ответ (полученное дифференциальное уравнение).

Список литературы:

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.2. / Д.Т. Письменный. – 5-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2007.- 256 с. - Глава 1, §1.2, стр. 9 - 11.

2. Валуце И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие / И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул. – М.: Наука, 1989. – Глава 10, §57, 64, стр. 311 – 315, 345 - 351.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §1, 5, стр. 369 – 375, 406 - 415.

4. Материалы сети Интернет.

5. Источники литературы, найденные самостоятельно.