Задание 46. Решение однородных дифференциальных уравнений – 1 ч

Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 46.1.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют однородными? Какова техника их решения?

?46.2. Решите однородное дифференциальное уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

¶46.3. Решите однородное дифференциальное уравнение:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Однородные дифференциальные уравнения -уравнения вида , где и - однородные функции одинакового порядка.

Функция называется однородной функцией п-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λ^п, т.е. .

Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:

1. Выполните подстановки: и . В получившемся дифференциальном уравнении раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.
2. Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных x и z. Найдите общее решение дифференциального уравнения.
3. В общем решении вернитесь к переменным x и у, подставив вместо z выражение .
4. Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

.

Раскроем скобки:

.

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

.

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие dx, в правой – выражения, содержащие dу.

.

Тогда или - уравнение с разделёнными переменными.

2. Интегрируя обе части, получим: или .

3. Подставим вместо z выражение: : или . Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 273 – 274.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 61, стр. 321 – 335.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2-3, стр. 375 – 393.