Примеры решения задач. Задача 1.Вычислить где - часть поверхности

Задача 1. Вычислить где - часть поверхности вырезанная поверхностью

Решение. Поверхность является частью параболоида , отсеченной конусом (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Поверхность однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей получается, если из уравнений и исключить

Разрешая уравнение поверхности относительно получаем Следовательно, Поэтому, воспользовавшись формулой (2.11), получаем

Задача 2. Найти массу поверхности сферы радиусом если ее поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до вертикального диаметра.

Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось по вертикали, получим, что расстояние от точки сферы до оси равно значит, плотность .

Согласно формуле (2.10)

где сфера, центр которой находится в начале координат.

Для вычисления интеграла применим формулу (2.13), поэтому запишем параметрическое представление сферы

По формулам (2.14) вычислим

Следовательно,

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

2. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями.

3. Найти площадь части поверхности вырезаемой поверхностью .

4. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5. Найти массу тела плотности ограниченного данными поверхностями.

Вариант № 1

1. .

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти длину кардиоиды

7. Вычислить площадь части поверхности параболоида ограниченной плоскостью

Вариант № 2

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в I квадранте.

7. Найти массу сферы если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до оси .