Тройной интеграл и его приложения

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция Произведем относительно области и функции действия, подобные действиям при составлении суммы (1.1), в результате получим сумму

(1.14)

где ― объемы частей на которые разбита область

― координаты точек произвольно выбранных в этих частях области

Сумма (1.14) называется интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек

Пусть ― диаметр ,

Если интегральная сумма (1.14) при имеет предел, не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

(1.15)

а функция называется интегрируемой в области .

Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема в ней.

Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы ― линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.

Если в области функция то тройной интеграл (1.15) равен объему области т. е.

(1.16)

Если считать объемной плотностью распределения вещества в области то интеграл (1.15) численно равен массе всего вещества, заключенного в области (физический смысл тройного интеграла).

С помощью тройного интеграла можно также вычислить:

а) статические моменты тела относительно координатных плоскостей и

(1.17)

где ― плотность распределения вещества;

б) координаты центра масс тела:

(1.18)

где ― масса тела;

в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат:

(1.19)

При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие стандартной трехмерной области, которое вводится по аналогии со стандартной двумерной областью. Так, например, область ограниченная снизу и сверху непрерывными поверхностями и ― стандартная относительно оси (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9

Она обладает следующими свойствами.

1. Всякая прямая, параллельная оси и проведенная через внутреннюю точку области , пересекает границу области ровно в двух точках.

2. Вся область однозначно проецируется на плоскость в двумерную область (рисунок 1.9).

Тройной интеграл по области вычисляется так:

Здесь внутренний интеграл берется по при фиксированных, но произвольных в значениях и В результате получается некоторая функция , которая интегрируется затем по области . Если область ограничена линиями , то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу

(1.20)

Если область не является стандартной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных плоскостей, разбивают ее на конечное число стандартных областей.