Примеры решения задач. Задача 1.Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и

Задача 1. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .

Решение. Область является стандартной относительно оси (рисунок 1.7)

Рисунок 1.7

Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1.8):

Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:

Теперь вычисляем повторный интеграл:

Задача 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде где ― область на плоскости ограниченная кривыми и т.е.

Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела

Задача 3. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.

Решение. Данная пластина изображена на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8

По формулам (1.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам:

Тогда изменяется от до (рисунок 1.8), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до (значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (1.12), получим

Аналогично получаем