Примеры решения задач. Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и

Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и

Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде , а саму область представить следующим образом где ― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатам где

Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна

Рисунок 1.12

якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому

Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность

Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси

Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область , Перейдем к обобщенным сферическим координатам следовательно, уравнение эллипсоида имеет вид Поэтому для области координата изменяется от 0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до Следовательно,