Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в двойном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями:

(1.10)

Если между областями и , лежащими в плоскостях и (рисунок 1.4), установлено соотношениями (1.10) взаимно однозначное отображение, причем функции (1.10) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области и якобиан отображения в области не обращается в нуль, т.е.

то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле:

(1.11)

Рисунок 1.4

В полярных координатах формулы (1.10) имеют вид Эти формулы связывают прямоугольные координаты с полярными координатами при условии, что полюс помещен в начало координат и полярная ось направлена вдоль оси В этом случае и формула (1.11) принимает вид

Рисунок 1.5 Рисунок 1.6

Для области ограниченной лучами, образующими с полярной осью углы и , и кривыми и причем (рисунок 1.5), получаем

(1.12)

Если область D содержит начало координат (рисунок 1.6), то

(1.13)

Формулы (1.12) и (1.13) удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или часть круга.

Обобщенными полярными координатами называют переменные и , связанные с прямоугольными координатами и формулами где В этом случае и формула (1.11) принимает вид