Криволинейные интегралы первого рода

Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая , гладкая или кусочно-гладкая, функция определена и ограничена на кривой Разобьем кривую на частей не имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму

(2.1)

где ― длина -й частичной дуги

Пусть Если существует предел интегральной суммы (2.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от выбора промежуточных точек то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается

т.е. (2.2)

Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую

Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ

Если ― длина кривой , то из формулы (2.2) при следует, что

Если функция неотрицательна в точках кривой , то значение интеграла равно площади куска цилиндрической поверхности, которая образована перемещением перпендикуляра к плоскости по кривой и имеющего переменную длину (рисунок 2.1).

Если кривая - материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностью некоторая масса то

Рисунок 2.1

С помощью криволинейных интегралов первого рода можно, как это делалось в случае двойных и тройных интегралов, находить моменты инерции материальной кривой относительно координатных осей, координаты центра масс кривой и т.д.

Если кривая задана параметрически: то

(2.3)

если кривая задана уравнением то

(2.4)

если кривая задана уравнением в полярных координатах то

(2.5)

Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой , заданной параметрически производится по формуле

. (2.6)