Расчет переходных процессов по частотным характеристикам

Метод определения переходных процессов по частотным характеристикам системы основан на прямом и обратном преобразованиях фурье.

Прямым преобразованием фурье непериодической вещественной функции f(t) называется интеграл:

(1)

Обратное преобразование фурье:

(2)

- непериодическая функция времени; должна удовлетворять условию Дирихле:

Преобразование Фурье (1) позволяет непериодическую вещественную функцию времени f(t) преобразовать в комплексную функцию частоты .

Ранее мы получили, что АФЧХ - есть отношение выходной и входной величин, выраженных в комплексной форме:

(3)

Т.е. преобразованных по Фурье. Т.о. в этом случае приобретает определенный физический смысл как комплексная передаточная функция.

Рассмотрим переходной процесс в системе, вызванный единичным ступенчатым входным воздействием:

Обозначим преобразование по Фурье входную и выходную величины в виде:

Вх. ; вых. - как отклик единичное входное воздействие.

Их связь через комплексную передаточную функцию:

(4)

Определим преобразованную по Фурье единичную ступенчатую входную функцию:

(5)

Итак: (6)

Обратным преобразованием Фурье комплексной функции определим вещественную переходную функцию h(t) при t

(7)

(8)

При t<0

(9)

Вычитаем (9) из (10)

(10)

(11)

Формула (11) лежит в основе частотного метода определения качества переходного процесса при единичном ступенчатом возмущении: формула(11) связывает переходную функцию с вещественной частотной характеристикой (замкнутой) системы.

Однако, непосредственно определение переходного процесса по формуле (11) затруднено вычислением интеграла. Поэтому на практике применяют метод В.В. Солодовникова, по которому вещественная частотная характеристика аппроксимируется в трапециодальной характеристикой, чтобы её можно было представить алгебраической суммой конечного числа элементарных трапеций. Каждая из трапеций должна быть прямоугольной со сторонами, совпадающими с осями координат.

Замена вещественной частотной характеристики трапециодальными.

Для каждой трапеции определяют:

Высоту (0); частоту пропускания сигнала и частоту пропускания сигнала без искажения , а также коэффициент наклона: .

Переходная функция для каждой трапеции вычисляется с помощью специальной таблицы по формуле:

Где - табличное время,связанное с истинным временем:

табулированная функция, определяется по таблице в зависимости от x и .

Значения для каждой трапеции определяются в следующей последовательности:

Сначала вычисляют коэффициент наклона .

Затем по таблице для ряда значений находят значения , каждое из которых умножают на . В результате получают ряд значений .Истинное время подсчитывают по формуле . Переходной процесс является алгеброической суммой составляющих: .

Поэтому для получения графика переходного процесса суммируют ординаты составляющих этого процесса с учетом знаков для каждого t.