Многомерные системы

Система автоматического управления могут содержать элементы с несколькими входными и выходными величинами. Такие системы называются многомерными. При их математическом описании получаются системы дифференциальных уравнений, в правые части которых входит несколько функций времени. Наиболее компактно эти уравнения записываются в векторно-матричной форме.

При составлении векторно-матричной модели многомерной системы используют следующие понятия:

- вектор входа (вектор входных величин, сигналов)

(1)

- вектор выхода (вектор выходных величин, сигналов)

(2)

- вектор состояния (вектор переменных состояний)

(3)

- матрицы

квадратная матрица (r,r)

прямоугольная матрица (r,m)

прямоугольная матрица (n,r)

прямоугольная матрица (n,m)

В этих обозначениях математическое описание многомерной системы сводятся к двум уравнениям:

- векторному дифференциальному уравнению состояния:

(4)

- векторному алгебраическому уравнению выхода:

(5)

Преобразуем по Лапласу векторно-матречное уравнения (4) и (5):

(6)

(7)

Из (6) (8)

Откуда (9)

Подстановка (9) в (7) дает уравнение выхода системы в изображениях – в векторно-матричной форме:

. (10)

Уравнение (10) связывает вектор изображений выходных величин с вектором изображений входных величин .

Матрица . (11)

называется передаточной матрицей (матрицей передаточной функции).

Элементы передаточной матрицы [прямоугольная матрица(m,n)].

(12)

являются передаточной функцией от входной величины к выходной величине .

Структурные схемы многомерных систем.

Отличие структурной схемы многомерной системы от схемы одномерной системы заключается в том, что схеме многомерной системы вместо передаточных функций записываются передаточные матрицы. В связях между звеньями показываются несколько входных и выходных сигналов. В структурной схеме многомерной системы связи между звеньями изображаются двойными линиями.