Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица

Алгебраический критерий устойчивости позволяют получить соотношений между коэффициентами характеристического уравнения:

(15)

При которых все его корни имеют отрицательные действительные части, т.е. система является устойчивой.

Известны критерии Рауса (1875) и Гурвица (1895). Критерий Гурвица получил наибольшее распространение.

Критерий Гурвица.

«Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица, все его главные диагональные миноры, а так же коэффициент a_n были положительны».

Определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения (5) по следующим правилам:

1. На главной диагонали выписывают последовательно коэффициенты характеристического уравнения от a_n-1 до a₀ включительно.

2. Строки определителя влево от главной диагонали заполняют коэффициентами с убывающими индексами, а вправо – коэффициентами с возрастающими индексами.

3. Все коэффициенты с индексами меньше 0 и более n заменяют нулями.

4.

Главный определитель Гурвица:

(16)

Все последующие определители – главные диагональные миноры Δ_n-1­, Δ_n-2, …, получаются вычеркиванием столбцов и строк, начиная, соответственно, с краткого правого столбца и нижней строки.

Например:

Таким образом, условие устойчивости Гурвица сводится к следующим неравенствам:

(7)

Условие устойчивости для системы II порядка: (n=2).